Viga biapoiada sujeita a carga móvel veicular

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Modelo estrutural

Considere uma viga biapoiada de vão \(L\), com uma seção fixa \(S_x\) em \(0 \lt x \lt L\). Um veículo é representado por cargas de eixos \(P_i\) para baixo, cujas distâncias fixas \(d_i\) são medidas a partir de um eixo de referência na posição \(s\). Ao deslocar o veículo, todas as posições dos eixos variam igualmente; as distâncias entre eixos devem permanecer fixas.

\[ f_I(z)=0\quad\text{for }z<0\text{ or }z>L,\qquad z_1(s)=s,\qquad z_{i+1}(s)=z_i(s)+d_{i,i+1}. \]

\[ L=z_A+L_q+z_B,\qquad a_j=z_A,\qquad b_j=z_A+L_q. \]

As cargas distribuídas \(q_j(z,s)\) atuam em intervalos prescritos. Contribuem apenas os eixos no vão e as partes desses intervalos que interceptam o vão. Uma interseção vazia contribui com zero. Uma carga distribuída pode acompanhar o veículo ou ocupar uma região de faixa prescrita separadamente; sua posição é determinada pela regra de carregamento, não pela linha de influência. Trechos sobrepostos se somam, salvo exclusão explícita pelo modelo de carga.

Modelo geral de carga: cargas de eixo P_i, carga distribuída q_j, posição de referência s, espaçamentos sucessivos entre eixos e posição da seção x.

Cargas para baixo são entradas positivas e reações de apoio para cima são resultados positivos. O esforço cortante positivo atua para baixo na face do corte do corpo livre esquerdo; o momento fletor positivo traciona as fibras inferiores. Admite-se comportamento linear com pequenos deslocamentos.

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Superposição e áreas algébricas

Para qualquer resposta \(E\), seja \(\eta_E(z)\) a ordenada de sua linha de influência devida a uma carga unitária para baixo em \(z\). Em uma dada posição do veículo, multiplique cada carga de eixo por sua própria ordenada e integre cada carga distribuída com a mesma linha de influência. Some todas as contribuições algebricamente.

\[ \boxed{F(s)=\sum_i P_i\,f_I(z_i(s)) +\sum_j\int_{a_j}^{b_j}q_j(z,s)\,f_I(z)\,dz.} \]

Para intensidade constante \(q\) em um intervalo recortado \([a,b]\), o efeito é \(q\) vezes a área algébrica sob a linha de influência. Em um ramo reto essa área é exatamente a de um trapézio. Ordenadas de reação e cortante são adimensionais, portanto suas áreas têm unidade de m; ordenadas de momento têm unidade de m, portanto suas áreas têm unidade de m².

\[ F_{qj}=q_j A_{Ij},\qquad A_{Ij}=\int_{a_j}^{b_j}f_I(x)\,dx,\qquad A_{Ij}=\frac{b_j-a_j}{2}\bigl[f_I(a_j)+f_I(b_j)\bigr] \quad\text{on a straight branch.} \]

Divida o intervalo em cada mudança de inclinação ou salto, especialmente em \(z=x\). Para cortante, mantenha os sinais das áreas negativa e positiva e use a ordenada lateral apropriada em cada extremidade de um ramo. Não use um único trapézio através do salto de cortante ou do pico de momento. Para intensidade não uniforme, use a integral em vez de \(q\) constante vezes área.

Rever a dedução das linhas de influência para carga unitária

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Reações de apoio

As linhas de influência das reações de apoio são lineares em todo o vão. Aplique a superposição com as seguintes ordenadas:

\[ f_{R_A}(z)=\frac{L-z}{L},\qquad f_{R_B}(z)=\frac{z}{L}. \]

\[ \begin{aligned} R_A(s)&=\sum_i P_i f_{R_A}(z_i(s)) +\sum_j\int_{a_j}^{b_j}q_j(z,s)f_{R_A}(z)\,dz,\\ R_B(s)&=\sum_i P_i f_{R_B}(z_i(s)) +\sum_j\int_{a_j}^{b_j}q_j(z,s)f_{R_B}(z)\,dz. \end{aligned} \]

Para um trecho uniforme em \([a,b]\), obtém-se o mesmo resultado aplicando a resultante \(q(b-a)\) no centroide \((a+b)/2\). Essa substituição também funciona para momento somente quando todo o trecho está em um único ramo reto da linha de influência de momento; em geral falha para um trecho que cruza a seção.

\[ R_{A,q}=q_j A_{R_Aj},\qquad R_{B,q}=q_j A_{R_Bj}, \qquad F_{qj}=q_jL_q. \]

Linha de influência da reação de apoio do ponto \(A\)

Linha de influência da reação de apoio do ponto \(B\)

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Esforço cortante

Mantenha a seção fixa e varie a coordenada da carga \(z\). Eixos à esquerda da seção contribuem com ordenadas negativas de cortante; eixos à direita contribuem com ordenadas positivas.

\[ f_V(z)= \begin{cases} -z/L,&0\le z\lt x,\\ (L-z)/L,&x\lt z\le L. \end{cases} \qquad f_V(x^-)=-\frac{x}{L},\quad f_V(x^+)=\frac{L-x}{L}. \]

\[ \boxed{V_x(s)=\sum_iP_i\,f_V(z_i(s)) +\sum_j\int_{a_j}^{b_j}q_j(z,s)\,f_V(z)\,dz.} \]

Se um eixo estiver exatamente na seção, informe os dois valores laterais de cortante em vez de calcular a média das ordenadas. O salto da linha de influência é +1 quando o eixo passa da esquerda para a direita, portanto o salto da resposta é +\(P_i\). O valor em um único ponto não afeta a integral da carga distribuída.

Construção geral da linha de influência do cortante com áreas algébricas e ordenadas nas posições dos eixos.

Para a carga uniforme em todo o vão mostrada, as duas áreas triangulares fornecem:

\[ A_V^-=-\frac{x^2}{2L},\qquad A_V^+=\frac{(L-x)^2}{2L}, \qquad V_{x,q}=q(A_V^-+A_V^+)=q\left(\frac L2-x\right). \]

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Momento fletor

A linha de influência de momento fletor é contínua e triangular, com ordenadas positivas para cargas para baixo em qualquer ponto interior do vão. Seu pico ocorre na seção fixa.

\[ f_M(z)= \begin{cases} z(L-x)/L,&0\le z\le x,\\ x(L-z)/L,&x\le z\le L. \end{cases} \qquad f_M(x)=\frac{x(L-x)}{L}. \]

\[ \boxed{M_x(s)=\sum_iP_i\,f_M(z_i(s)) +\sum_j\int_{a_j}^{b_j}q_j(z,s)\,f_M(z)\,dz.} \]

Construção geral da linha de influência do momento fletor com ordenadas nas posições dos eixos.

Para uma carga uniforme em todo o vão, a área do triângulo completo fornece:

\[ A_M=\frac12L\,\frac{x(L-x)}{L}=\frac{x(L-x)}2,\qquad M_{x,q}=qA_M. \]

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Exemplo calculado em uma posição

Use a carga genérica mostrada nas três figuras. A carga de faixa cobre todo o vão independentemente da posição do veículo e é somada às cargas de eixos sem zona de exclusão. Esses valores ilustrativos não foram retirados de uma norma de projeto e não incluem impacto nem coeficientes de ponderação.

\[ L=20\,\mathrm m,\quad x=8\,\mathrm m,\quad s=4\,\mathrm m,\quad d_{1,2}=5\,\mathrm m,\quad d_{2,3}=4\,\mathrm m, \] \[ (P_1,P_2,P_3)=(60,100,100)\,\mathrm{kN},\quad (z_1,z_2,z_3)=(s,s+d_{1,2},s+d_{1,2}+d_{2,3}) =(4,9,13)\,\mathrm m,\quad q=6\,\mathrm{kN/m}. \]

Reações de apoio

Posição de exemplo: três cargas de eixos em 4, 9 e 13 m numa viga de 20 m, mais uma carga uniforme de faixa de 6 kN/m em todo o vão. A seção está em x = 8 m. Setas longas representam os eixos; setas curtas representam a carga distribuída.

\[ R_A=60(0.80)+100(0.55)+100(0.35)+\frac{6(20)}2 =\boxed{198\,\mathrm{kN}}, \] \[ R_B=60(0.20)+100(0.45)+100(0.65)+\frac{6(20)}2 =\boxed{182\,\mathrm{kN}}. \]

Esforço cortante

Mesma posição de carga acima da linha de influência de cortante. Guias tracejadas identificam ηV em cada eixo. A área sombreada esquerda é negativa (−1,60 m) e a direita é positiva (+3,60 m); multiplique sua soma algébrica por q e some os três produtos Pi ηV(zi).

\[ (\eta_V(z_1),\eta_V(z_2),\eta_V(z_3))=(-0.20,0.55,0.35), \quad (A_V^-,A_V^+)=(-1.60,3.60)\,\mathrm m, \] \[ V_x=60(-0.20)+100(0.55)+100(0.35)+6(-1.60+3.60) =\boxed{90\,\mathrm{kN}}. \]

Momento fletor

\[ (\eta_M(z_1),\eta_M(z_2),\eta_M(z_3))=(2.40,4.40,2.80)\,\mathrm m, \quad A_M=48\,\mathrm{m^2}, \] \[ M_x=60(2.40)+100(4.40)+100(2.80)+6(48) =\boxed{1152\,\mathrm{kN\,m}}. \]

Confira as reações com a carga vertical total e verifique os esforços na seção diretamente pelo corpo livre esquerdo. Apenas o eixo em 4 m e os primeiros 8 m de carga de faixa estão à esquerda do corte:

\[ R_A+R_B=380=60+100+100+6(20)\quad[\mathrm{kN}], \] \[ V_x=198-60-6(8)=90\,\mathrm{kN},\qquad M_x=198(8)-60(8-4)-\frac{6(8)^2}{2}=1152\,\mathrm{kN\,m}. \]

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Verificações e limitações

Os cálculos acima valem para uma posição arbitrária especificada do veículo, não necessariamente a crítica. Para obter extremos em uma seção fixa, translade o grupo completo de eixos preservando suas distâncias, incluindo entrada e saída, e avalie cada arranjo admissível de cargas distribuídas. Para cortante, verifique os dois lados de cada passagem de eixo. Os extremos positivo e negativo de cortante devem ser buscados separadamente. Carregue apenas regiões favoráveis da linha de influência quando as regras de carregamento permitirem; não remova cargas desfavoráveis exigidas por essas regras. Repita para outras seções para formar uma envoltória.

Esta é uma explicação estática e unidimensional, não um projeto de ponte conforme uma norma. Uma aplicação de projeto deve definir a norma aplicável, combinações de veículos e faixas, amplificação dinâmica, coeficientes de carga e combinação, regras de presença simultânea, distribuição transversal às longarinas e verificações de fadiga ou serviço exigidas. Um engenheiro habilitado deve verificar esses requisitos; eles não são fornecidos por este exemplo.

Com apenas cargas verticais neste modelo idealizado de viga, o esforço normal é zero. Frenagem, tração, ações horizontais, torção e efeitos locais de rodas exigem modelos adicionais.