Dedução das linhas de influência de uma viga biapoiada

1

Modelo estrutural

Considere o modelo estrutural de uma viga biapoiada de vão \(L\) ligando os pontos \(A\) e \(B\). O ponto \(A\) é um apoio fixo (do segundo gênero) e o ponto \(B\) é um apoio simples deslizante (do primeiro gênero). Uma carga concentrada gravitacional de intensidade \(P\) situa-se em um ponto de coordenada \(z\), medida a partir de \(A\). Os resultados desejados são as reações de apoio \(R_A\) ou \(R_B\), ou um esforço interno (esforço cortante ou momento fletor) em uma determinada seção \(S_x\) da viga.

\[ 0\le z\le L \]

\(L\): Vão da viga
\(z\): Posição variável da carga
\(P\): Intensidade da carga (gravitacional)
\(R_A, R_B\): Reações de apoio (positivo para cima)

2

Reações de apoio

As equações de equilíbrio de forças verticais \(F_y\) e de momentos \(M_A\) em torno de \(A\) fornecem:

\[ \sum F_y=0:\qquad R_A+R_B-P=0, \] \[ \sum M_A=0:\qquad R_B L-P\,z=0. \]

Portanto, as reações de apoio são funções lineares em \(z\):

\[ \boxed{R_A(z)=P\,\frac{L-z}{L}}, \qquad \boxed{R_B(z)=P\,\frac{z}{L}}. \]

\(R_A(z)\): Reação do apoio esquerdo devido à carga de valor \(P\) na posição \(z\)
\(R_B(z)\): Reação do apoio direito devido à carga de valor \(P\) na posição \(z\)

A identidade \(R_A(z)+R_B(z)=P\) é uma verificação de equilíbrio útil para qualquer posição de carga.

3

Linhas de influência

Matematicamente falando, uma linha de influência é um gráfico que representa uma função do tipo \(y=f(z)\) de um ponto (ou seção) da estrutura, tal que a variável independente (abscissa) é a posição \(z\) de uma carga unitária móvel, e a ordenada \(y\) corresponde ao valor de uma resposta desejada, tais como uma reação de apoio, ou um esforço interno (esforço cortante ou momento fletor).

Em outras palavras, a representação gráfica da linha de influência é tal que a abcissa de um ponto da função linha de influência correspondente à posição \(z\) de carga unitária, e a ordenada deste ponto é a resposta desejada (reação de apoio ou esforço interno) causada por esta carga. Conforme pode-se observar a seguir, as ordenadas das linhas de influência de reação de apoio e de esforço cortante são adimensionais; as de momento têm unidade de comprimento.

4

Linhas de influência das reações de apoio

Fazendo \(P=1\), obtêm-se as linhas de influência das reações de apoio, que são funções lineares em \(z\):

\[ \boxed{R_{AI}(z)=\frac{L-z}{L}}, \qquad \boxed{R_{BI}(z)=\frac{z}{L}}. \]

\(R_{AI}(z)\): Função de linha de influência da reação de apoio do ponto \(A\)
\(R_{BI}(z)\): Função de linha de influência da reação de apoio do ponto \(B\)

Linha de influência da reação de apoio do ponto \(A\)

Linha de influência da reação de apoio do ponto \(B\)

5

Esforços internos

Pode-se imaginar que a viga seja seccionada em uma seção transversal \(S_x\) com coordenada \(x\), criando-se dois corpos livres, e examinar as forças à esquerda ou à direita deste corte. O esforço cortante \(V\) é definido como a soma algébrica das forças verticais externas que atuam no corpo livre escolhido (à esquerda ou à direita da seção). O momento fletor \(M\) é definido como a soma algébrica dos momentos em torno do ponto correspondente à seção \(S_x\) de todas as forças externas que atuam no corpo livre escolhido (à esquerda ou à direita da seção). A expressão usada para calcular os esforços internos depende do lado da seção em que a carga móvel se encontra. Isto gera dois casos:

<strong>Caso 1:</strong> a seção \(S_x\) está localizada à esquerda da carga \(P\). Neste caso, \(x\lt z\). — **Caso 1:** a seção \(S_x\) está localizada à esquerda da carga \(P\). Neste caso, \(x\lt z\).

<strong>Caso 2:</strong> a seção \(S_x\) está localizada à direita da carga \(P\). Neste caso, \(x\gt z\). — **Caso 2:** a seção \(S_x\) está localizada à direita da carga \(P\). Neste caso, \(x\gt z\).

\[ 0\le x\le L \]

\(x\): Posição variável de uma seção \(S_x\)

6

Esforço cortante

O esforço cortante \(V\) atuante em uma seção \(S_x\) é definido como a soma de todas as forças transversais (neste caso forças verticais) atuantes em um determinado lado desta seção \(S_x\). Emprega-se uma convenção de sinais de modo que as forças verticais que atuam à esquerda da seção são positivas quando têm sentido para cima, e negativas quanto têm sentido para baixo. Para forças verticais que atuam à direita da seção, a convenção de sinais é invertida.

No contexto de uma viga sujeita a uma única carga vertical P, o esforço cortante atuante em uma seção \(S_x\), localizada em \(x\), devido a uma carga \(P\) em \(z\) é representado como \(V(x,z)\), ou seja, sendo uma função de duas variáveis \(x\) e \(z\).

\(V(x,z)\): Esforço cortante na seção \(S_x\) localizada em \(x\) devido a uma carga \(P\) posicionada em \(z\)

Caso 1: a seção \(S_x\) está localizada à esquerda da carga \(P\). Neste caso, \(x\lt z\).

O corpo livre à esquerda contém apenas a reação \(R_A\):

\[ V(x,z)=R_A(z)=P\,\frac{L-z}{L}. \]

Caso 2: a seção \(S_x\) está localizada à direita da carga \(P\). Neste caso, \(x\gt z\).

O corpo livre à esquerda contém tanto a reação \(R_A\) quanto a carga gravitacional \(P\):

\[ V(x,z)=R_A(z)-P =P\,\frac{L-z}{L}-P =-P\,\frac{z}{L}. \]

A combinação das duas equações acima fornece o esforço cortante na seção \(S_x\) devido a uma carga \(P\) posicionada em \(z\):

\[ \boxed{ V(x,z)= \begin{cases} R_A(z)=P\,\dfrac{L-z}{L}, & x\lt z,\\[6pt] R_A(z)-P=-P\,\dfrac{z}{L}, & x\gt z. \end{cases}} \]

7

Diagrama de esforço cortante

Para o diagrama de esforço cortante, mantém-se a intensidade \(P\) da carga genérica e fixa-se a posição da carga em um valor constante \(z=z_c\). O diagrama de esforço cortante passa a ser uma função apenas da posição \(x\) da seção, definida por \(V_D(x)=V(x,z_c)\). A seção está à esquerda da carga quando \(x\lt z_c\) e à direita quando \(x\gt z_c\); portanto, o resultado anterior fornece:

\[ \boxed{ V_D(x)= \begin{cases} R_A(z_c)=P\,\dfrac{L-z_c}{L}, & x\lt z_c,\\[6pt] R_A(z_c)-P=-P\,\dfrac{z_c}{L}, & x\gt z_c. \end{cases}} \]

O esforço cortante é constante de cada lado da carga e sofre uma queda de \(P\) em \(x=z_c\), onde a carga é aplicada: \(V_D(z_c^+)-V_D(z_c^-)=-P\). O diagrama é mostrado a seguir para uma carga em \(z=z_c\).

8

Linha de influência de esforço cortante

Para obter a linha de influência de esforço cortante, adota-se \(P=1\) e fixa-se a posição da seção em um valor constante \(x=x_c\). A linha de influência passa a ser uma função apenas da posição \(z\) da carga, definida por \(V_I(z)=V(x_c,z)\). A partir do resultado anterior:

\[ \boxed{ V_I(z)= \begin{cases} R_{AI}(z)-1=-\dfrac{z}{L}, & z\lt x_c,\\[6pt] R_{AI}(z)=\dfrac{L-z}{L}, & z\gt x_c. \end{cases}} \]

Na posição \(x=x_c\) da seção transversal, ocorre uma descontinuidade, de modo que devem-se considerar dois valores para o esforço cortante: um valor mínimo \(V_{ILmin}\), para a carga imediatamente à esquerda da seção \(S_x\) (\(z=x_c^-\)), e um valor máximo \(V_{ILmax}\), para a carga imediatamente à direita da seção (\(z=x_c^+\)). Deste modo, tem-se:

\[ V_{Imin}=V_I(z=x_c^-)=-\frac{x_c}{L}, \qquad V_{Imax}=V_I(z=x_c^+)=\frac{L-x_c}{L}, \] \[ V_{Imax}-V_{Imin}=1. \]

A descontinuidade ocorre porque a carga unitária móvel entra ou sai do corpo livre exatamente em \(x\). Por isso obtém-se os dois valores.

9

Momento fletor

O momento fletor \(M\) atuante em uma seção \(S_x\) é definido como a soma algébrica dos momentos, em relação a essa seção, de todas as forças externas atuantes em um determinado lado da seção. Emprega-se uma convenção de sinais na qual os momentos positivos são os que tracionam as fibras inferiores, e os momentos negativos são os que tracionam as fibras superiores.

No contexto de uma viga sujeita a uma única carga vertical \(P\), o momento fletor atuante em uma seção \(S_x\), localizada em \(x\), devido a uma carga \(P\) em \(z\), é representado como \(M(x,z)\), ou seja, como uma função de duas variáveis, \(x\) e \(z\).

\(M(x,z)\): Momento fletor na seção \(S_x\) localizada em \(x\) devido a uma carga \(P\) posicionada em \(z\)

Caso 1: a seção \(S_x\) está localizada à esquerda da carga \(P\). Neste caso, \(x\lt z\).

A carga \(P\) não pertence ao corpo livre à esquerda, portanto

\[ M(x,z)=R_A(z)x=P\,\frac{x(L-z)}{L}. \]

Caso 2: a seção \(S_x\) está localizada à direita da carga \(P\). Neste caso, \(x\gt z\).

Tomando os momentos das forças do lado esquerdo em relação ao corte da seção \(S_x\), obtém-se

\[ \begin{aligned} M(x,z) &=R_A(z)x-P\,(x-z)\\ &=P\,\frac{L-z}{L}x-P\,x+P\,z\\ &=P\,\frac{z(L-x)}{L}. \end{aligned} \]

A combinação das duas últimas equações acima fornece o momento fletor na seção \(S_x\) devido a uma carga \(P\) posicionada em \(z\):

\[ \boxed{ M(x,z)= \begin{cases} P\,\dfrac{x(L-z)}{L}, & x\le z,\\[6pt] P\,\dfrac{z(L-x)}{L}, & x\ge z. \end{cases}} \]

10

Diagrama de momento fletor

Para o diagrama de momento fletor, mantém-se a intensidade \(P\) da carga genérica e fixa-se a posição da carga em um valor constante \(z=z_c\). O diagrama passa a ser uma função apenas da posição \(x\) da seção, definida por \(M_D(x)=M(x,z_c)\). A seção está à esquerda da carga quando \(x\le z_c\) e à direita quando \(x\ge z_c\); portanto, o resultado anterior fornece:

\[ \boxed{ M_D(x)= \begin{cases} P\,\dfrac{x(L-z_c)}{L}, & x\le z_c,\\[6pt] P\,\dfrac{z_c(L-x)}{L}, & x\ge z_c. \end{cases}} \]

O diagrama é contínuo e linear por trechos, e sua inclinação é o esforço cortante \(V_D(x)\). O momento fletor máximo ocorre sob a carga:

\[ M_{Dmax}=M_D(x=z_c)=P\,\frac{z_c(L-z_c)}{L}. \]

11

Linha de influência de momento fletor

Para obter a linha de influência de momento fletor, adota-se \(P=1\) e fixa-se a posição da seção em um valor constante \(x=x_c\). A linha de influência passa a ser uma função apenas da posição \(z\) da carga, definida por \(M_I(z)=M(x_c,z)\). A partir do resultado anterior:

\[ \boxed{ M_I(z)= \begin{cases} \dfrac{z(L-x_c)}{L}, & z\le x_c,\\[6pt] \dfrac{x_c(L-z)}{L}, & z\ge x_c \end{cases}} \]

Diferentemente do esforço cortante, o momento fletor é contínuo na seção (com continuidade do tipo \(C_0\)). Nota-se que os dois ramos produzem a mesma ordenada de pico:

\[ M_{Imax}=M_I(z=x_c)=\frac{x_c(L-x_c)}{L}. \]

12

Verificações e limitações

Em \(z=0\): \(R_A(z)=R_A(0)=P\), \(R_B(z)=R_B(0)=0\) e \(M(x,z)=M(x,0)=0\).
Em \(z=L\): \(R_A(z)=R_A(L)=0\), \(R_B(z)=R_B(L)=P\) e \(M(x,z)=M(x,L)=0\).
A descontinuidade do esforço cortante em \(z=x\) é exatamente igual à intensidade \(P\) da carga (igual a 1 na linha de influência), assim como a queda do diagrama de esforço cortante em \(x=z_c\).
A ordenada da linha de influência de momento \(M_I(z)\) tem unidade de comprimento porque corresponde ao produto de uma força adimensional e uma distância (comprimento), enquanto as ordenadas de \(M_D(x)\) têm unidade de força vezes comprimento.

Estas expressões foram deduzidas para uma viga biapoiada, e uma carga concentrada. Vigas com balanços, ou vigas contínuas, com ou sem rótulas internas, e sistemas hiperestáticos em geral exigem formulações adicionais.