Viga biapoiada sujeita a três cargas concentradas móveis

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Modelo estrutural

Considere uma viga biapoiada de vão \(L\) sujeita a três cargas concentradas móveis \(P_1\), \(P_2\) e \(P_3\) que se deslocam juntas sem mudar os espaçamentos intermediários \(d_{1,2}\) e \(d_{2,3}\), conforme ilustrado na figura. Adota-se uma posição \(s\) como referência para o posicionamento do veículo. Assume-se que a posição \(z_1\) da primeira carga coincide com \(s\), de modo que \(z_1=s\); as outras posições \(z_2\) e \(z_3\) são automaticamente definidas considerando-se os espaçamentos fixos entre as cargas.

Três cargas concentradas móveis em uma viga biapoiada, mostrando a posição de referência, e os espaçamentos intermediários sucessivos.

\[ z_1(s)=s,\qquad z_2(s)=s+d_{1,2},\qquad z_3(s)=s+d_{1,2}+d_{2,3} \]

ou, em termos mais gerais,

\[ z_j(s)=s+\sum_{i=1}^{j-1}d_{i,(i+1)},\qquad j\gt 1. \]

\(L\): Vão da viga
\(x_c\): beams.theory.
\(P_j\): Magnitude da carga concentrada \(j\)
\(z_j\): Posição da carga concentrada \(j\)
\(d_{j,j+1}\): Distância entre cargas concentradas consecutivas \(j\) e \(j+1\)
\(R_A, R_B\): Reações de apoio (positivo para cima)

As cargas concentradas para baixo e as reações de apoio para cima são positivas.

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Reações de apoio

Para determinar as reações de apoio considerando todas as diversas cargas concentradas de valor \(P_j\) que se situam sobre a viga, é bastante conveniente se empregar o conceito de linhas de influência, combinado com o princípio da superposição dos efeitos.

Reveja a teoria referente às linhas de influência de reações de apoio.

\[ R_{AI}(z)=\frac{L-z}{L},\qquad R_{BI}(z)=\frac{z}{L} \quad(0\le z\le L). \]

De acordo com o princípio da superposição dos efeitos, pode-se determinar o valor total das reações de apoio \(R_A(s)\) ou \(R_B(s)\) da estrutura sujeita a várias cargas somando as contribuições individuais de cada carga: para isto, multiplica-se o valor \(P_j\) de cada carga \(j\) pela respectiva ordenada \(R_{AI}(z_j(s))\) ou \(R_{BI}(z_j(s))\) da linha de influência avaliada na própria posição \(z_j(s)\) da carga, e somam-se as diversas contribuições. Considera-se que as ordenadas das linhas de influência para pontos fora da viga são nulas (ou seja, \(R_{AI}(z_j(s))=0\) e \(R_{BI}(z_j(s))=0\), para \(z_j(s) < 0\) ou \(z_j(s) > L\)).

\[ R_A(s)=P_1 R_{AI}(z_1(s))+P_2 R_{AI}(z_2(s))+P_3 R_{AI}(z_3(s)),\\[6pt] R_B(s)=P_1 R_{BI}(z_1(s))+P_2 R_{BI}(z_2(s))+P_3 R_{BI}(z_3(s)). \]

ou, mais geralmente, para um número arbitrário \(n_P\) de cargas concentradas,

\[ \boxed{R_A(s)=\sum_{j=1}^{n_P}P_j\, R_{AI}(z_j(s)),\qquad R_B(s)=\sum_{j=1}^{n_P}P_j\, R_{BI}(z_j(s)).} \]

Três cargas concentradas móveis em uma viga biapoiada, mostrando a posição de referência, e os espaçamentos intermediários sucessivos. beams.moving-points.theory-left-support-reaction-caption beams.moving-points.theory-right-support-reaction-caption — Linha de influência da reação do apoio esquerdo e direito com as ordenadas nas posições das três cargas concentradas

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Esforço cortante

De forma similar ao que se faz para as reações de apoio, para determinar o esforço cortante em uma seção \(S_x\) em uma posição fixa \(x_c\) devido a todas as cargas concentradas de valor \(P_j\) que se situam sobre a viga, se emprega o conceito de linhas de influência, combinado com o princípio da superposição dos efeitos.

Reveja a teoria referente às linhas de influência do esforço cortante.

\[ V_I(z)= \begin{cases} -z/L,&0\le z\lt x_c,\\ (L-z)/L,&x_c\lt z\le L. \end{cases} \\[6pt] V_I(z=x_c^-)=-\frac{x_c}{L},\quad V_I(z=x_c^+)=\frac{L-x_c}{L}. \]

Uma carga à esquerda da seção \(S_x\) está associada a uma ordenada de cortante negativa; uma carga à direita está associada a uma ordenada positiva. O cortante positivo atua para baixo na face cortada do corpo livre esquerdo; A viga é linear e apresenta pequenos deslocamentos.

Pode-se então determinar o valor total do esforço cortante \(V(s)\) da estrutura sujeita a várias cargas empregando-se o princípio da superposição dos efeitos: para isto, multiplica-se o valor \(P_j\) de cada carga \(j\) pela respectiva ordenada \(V_I(z_j(s))\) da linha de influência avaliada na própria posição \(z_j(s)\) da carga, e somam-se as diversas contribuições. Considera-se que as ordenadas das linhas de influência para pontos fora da viga são nulas (ou seja, \(V_I(z_j(s))=0\), para \(z_j(s) < 0\) ou \(z_j(s) > L\)).

\[ \boxed{V(s)=\sum_{j=1}^{n_P}P_j\, V_I(z_j(s)).} \]

Três cargas concentradas móveis em uma viga biapoiada, mostrando a posição de referência, e os espaçamentos intermediários sucessivos. Linha de influência do cortante com as ordenadas nas posições das três cargas concentradas. — Linha de influência do cortante com as ordenadas nas posições das três cargas concentradas.

Nota-se que quando uma carga \(j\) qualquer se movimenta sobre a viga e passa pela posição \(x_c\) da seção fixa \(S_x\), ocorre uma mudança brusca no valor do esforço cortante (devido à descontinuidade da linha de influência), de modo que quando a carga concentrada situa-se exatamente na mesma posição da seção, este caso torna-se indeterminado. Nesta situação, deve-se considerar os dois valores unilaterais da linha de influência \(V_I(z_j=x_c^-)\) à esquerda e \(V_I(z_j=x_c^+)\) à direita da seção separadamente, calculando-se dois valores distintos de esforço cortante total \(V(s)\), sendo \(V_{min}(s)=V(s^-)\) para a carga \(j\) posicionada imediatamente à esquerda e \(V_{max}(s)=V(s^+)\) para a carga \(j\) posicionada imediatamente à direita da seção fixa.

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Momento fletor

De forma similar ao esforço cortante, o momento fletor na seção \(S_x\) situada na posição fixa \(x_c\) devido a todas as cargas concentradas de valor \(P_j\) sobre a viga é determinado usando linhas de influência e o princípio da superposição dos efeitos.

Reveja a teoria referente às linhas de influência do momento fletor.

\[ M_I(z)= \begin{cases} z(L-x_c)/L,&0\le z\le x_c,\\ x_c(L-z)/L,&x_c\le z\le L. \end{cases} \]

A linha de influência do momento fletor é contínua e triangular. Sua ordenada é nula nos apoios, positiva para uma carga para baixo no interior do vão e máxima quando a carga está na seção \(S_x\). O momento fletor positivo traciona as fibras inferiores.

O momento fletor total \(M(s)\) devido a várias cargas resulta da superposição: multiplica-se a intensidade \(P_j\) de cada carga \(j\) pela ordenada \(M_I(z_j(s))\) da linha de influência de momento em sua posição \(z_j(s)\), e somam-se as contribuições. As ordenadas fora da viga são nulas (isto é, \(M_I(z_j(s))=0\) quando \(z_j(s) < 0\) ou \(z_j(s) > L\)).

\[ \boxed{M(s)=\sum_{j=1}^{n_P}P_j M_I(z_j(s)).} \]

Ao contrário do esforço cortante, o momento fletor permanece contínuo quando uma carga atravessa a seção fixa \(S_x\). Os dois ramos da linha de influência se encontram em \(z_j=x_c\); portanto, uma carga exatamente na seção tem uma única ordenada de momento bem definida, sem necessidade de valores unilaterais.

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Generalização para qualquer tipo de resposta

Com o objetivo de generalizar os conceitos de linhas de influência de reações de apoio \(R_{{AI}}(z)\) e \(R_{{BI}}(z)\), de esforço cortante \(V_I(z)\), e momento fletor \(M_I(z)\) associadas a uma única carga na posição \(z\), usando uma notação mais abrangente, define-se a função genérica \(f_I(z)\), a qual pode assumir qualquer uma dessas funções conforme necessário (ou seja, pode-se fazer \(f_I(z)=R_{{AI}}(z)\), \(f_I(z)=R_{{BI}}(z)\), \(f_I(z)=V_I(z)\), ou \(f_I(z)=M_I(z)\) de acordo com o caso).

Analogamente, considerando as respostas totais de reações de apoio \(R_A(s)\) e \(R_B(s)\), esforço cortante \(V(s)\) e momento fletor \(M(s)\) referentes às diversas cargas concentradas de valor \(P_j\), posicionadas de acordo com a distância de referência \(s\), pode-se definir uma função geral \(F(s)\), que pode assumir qualquer uma dessas funções respostas conforme necessário (ou seja, pode-se fazer \(F(s)=R_A(s)\), \(F(s)=R_B(s)\), \(F(s)=V(s)\), ou \(F(s)=V(s)\) de acordo com o caso).

De acordo com o princípio da superposição dos efeitos, pode-se então determinar o valor da resposta total de uma estrutura sujeita a várias cargas somando as contribuições individuais de cada carga: para isto, multiplica-se cada carga pela ordenada da linha de influência na própria posição e somam-se as três contribuições. Considera-se que as ordenadas das linhas de influência para pontos fora da viga são nulas (ou seja, \(f_I(z)=0\) para \(z < 0\) ou \(z > L\)).

\[ \boxed{F(s)=P_1 f_I(z_1(s))+P_2 f_I(z_2(s))+P_3 f_I(z_3(s)).} \]

ou, mais geralmente, para um número arbitrário \(n_P\) de cargas concentradas,

\[ \boxed{F(s)=\sum_{j=1}^{n_P}P_j f_I(z_j(s)).} \]

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Exemplo calculado em uma posição

Nesta posição do veículo, calcule as reações e os esforços internos na seção fixa. Este não é o máximo entre todas as posições.

Exemplo numérico: cargas de 60, 100 e 100 kN em 4, 9 e 13 m numa viga de 20 m; seção em 8 m.

\[ L=20\,\mathrm m,\quad x=8\,\mathrm m,\quad s=4\,\mathrm m,\quad d_{1,2}=5\,\mathrm m,\quad d_{2,3}=4\,\mathrm m, \] \[ (P_1,P_2,P_3)=(60,100,100)\,\mathrm{kN},\qquad (z_1,z_2,z_3)=(4,9,13)\,\mathrm m. \]

Reações de apoio

\[ R_A=60(0.80)+100(0.55)+100(0.35)=\boxed{138\,\mathrm{kN}}, \] \[ R_B=60(0.20)+100(0.45)+100(0.65)=\boxed{122\,\mathrm{kN}}. \]

Esforço cortante

\[ (V_I(z_1),V_I(z_2),V_I(z_3))=(-0.20,0.55,0.35), \] \[ V_S=60(-0.20)+100(0.55)+100(0.35)=\boxed{78\,\mathrm{kN}}. \]

Momento fletor

\[ (M_I(z_1),M_I(z_2),M_I(z_3))=(2.40,4.40,2.80)\,\mathrm m, \] \[ M_S=60(2.40)+100(4.40)+100(2.80)=\boxed{864\,\mathrm{kN\,m}}. \]

Confira as reações pelo equilíbrio vertical e, em seguida, confira o cortante e o momento pelo corpo livre esquerdo:

\[ R_A+R_B=260=60+100+100\quad[\mathrm{kN}],\qquad V_S=138-60=78\,\mathrm{kN}, \] \[ M_S=138(8)-60(8-4)=864\,\mathrm{kN\,m}. \]

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Verificações e limitações

Para outras posições do veículo, altere \(s\) mantendo os espaçamentos fixos e recalcule cada ordenada. Ao cruzar um apoio, uma carga começa ou deixa de contribuir; ao cruzar a seção, use o valor lateral adequado do cortante.

Este exemplo considera apenas uma posição. Encontrar máximos ou mínimos exige avaliar as posições permitidas e os arranjos de carga relevantes; confira separadamente as regras de projeto aplicáveis.

Neste modelo de viga com cargas verticais, o esforço normal é nulo. Ações horizontais, torção e efeitos locais das rodas exigem modelos adicionais.