Poutre simplement appuyée soumise à une charge mobile de véhicules

1

Modèle structurel

Considérons une poutre simplement appuyée de portée \(L\), avec une section fixe \(S_x\) en \(0 \lt x \lt L\). Un véhicule est représenté par des charges d'essieux \(P_i\) dirigées vers le bas, dont les décalages fixes \(d_i\) sont mesurés depuis un essieu de référence en position \(s\). Le déplacement du véhicule modifie toutes les positions d'essieux de la même quantité ; leurs espacements restent fixes.

\[ f_I(z)=0\quad\text{for }z<0\text{ or }z>L,\qquad z_1(s)=s,\qquad z_{i+1}(s)=z_i(s)+d_{i,i+1}. \]

\[ L=z_A+L_q+z_B,\qquad a_j=z_A,\qquad b_j=z_A+L_q. \]

Les charges réparties \(q_j(z,s)\) agissent sur des intervalles prescrits. Seuls les essieux sur la portée et les portions de ces intervalles intersectant la portée contribuent. Une intersection vide donne une contribution nulle. Une charge répartie peut suivre le véhicule ou occuper une région de voie prescrite séparément ; sa position dépend de la règle de chargement, et non de la ligne d'influence. Les zones superposées s'additionnent sauf exclusion explicite par le modèle de charge.

Modèle général de charge : charges d'essieu P_i, charge répartie q_j, position de référence s, espacements successifs des essieux et position de la section x.

Les charges vers le bas sont des entrées positives et les réactions d'appui vers le haut sont des résultats positifs. L'effort tranchant positif agit vers le bas sur la face de coupe du corps libre gauche ; le moment positif produit une traction dans les fibres inférieures. Le comportement est supposé linéaire à petits déplacements.

2

Superposition et aires algébriques

Pour une réponse \(E\), soit \(\eta_E(z)\) l'ordonnée de sa ligne d'influence due à une charge unitaire vers le bas en \(z\). Pour une position donnée du véhicule, multipliez chaque charge d'essieu par sa propre ordonnée et intégrez chaque charge répartie contre la même ligne d'influence. Additionnez algébriquement les contributions.

\[ \boxed{F(s)=\sum_i P_i\,f_I(z_i(s)) +\sum_j\int_{a_j}^{b_j}q_j(z,s)\,f_I(z)\,dz.} \]

Pour une intensité constante \(q\) sur un intervalle tronqué \([a,b]\), l'effet vaut \(q\) fois l'aire algébrique sous la ligne d'influence. Sur une branche droite, cette aire est exactement celle d'un trapèze. Les ordonnées de réaction et d'effort tranchant sont sans dimension : leurs aires sont en m ; les ordonnées de moment sont en m : leurs aires sont en m².

\[ F_{qj}=q_j A_{Ij},\qquad A_{Ij}=\int_{a_j}^{b_j}f_I(x)\,dx,\qquad A_{Ij}=\frac{b_j-a_j}{2}\bigl[f_I(a_j)+f_I(b_j)\bigr] \quad\text{on a straight branch.} \]

Scindez l'intervalle à chaque changement de pente ou saut, notamment en \(z=x\). Pour l'effort tranchant, conservez les signes des aires négative et positive et utilisez l'ordonnée unilatérale appropriée à chaque extrémité d'une branche. N'utilisez pas un seul trapèze à travers le saut de cisaillement ou le sommet de moment. Pour une intensité non uniforme, utilisez l'intégrale plutôt qu'un \(q\) constant multiplié par une aire.

Revoir la déduction des lignes d'influence pour une charge unitaire

3

Réactions d'appui

Les lignes d'influence des réactions d'appui sont linéaires sur toute la portée. Appliquez la superposition avec les ordonnées suivantes :

\[ f_{R_A}(z)=\frac{L-z}{L},\qquad f_{R_B}(z)=\frac{z}{L}. \]

\[ \begin{aligned} R_A(s)&=\sum_i P_i f_{R_A}(z_i(s)) +\sum_j\int_{a_j}^{b_j}q_j(z,s)f_{R_A}(z)\,dz,\\ R_B(s)&=\sum_i P_i f_{R_B}(z_i(s)) +\sum_j\int_{a_j}^{b_j}q_j(z,s)f_{R_B}(z)\,dz. \end{aligned} \]

Pour une zone uniforme sur \([a,b]\), on obtient le même résultat en plaçant sa résultante \(q(b-a)\) au centroïde \((a+b)/2\). Cette substitution fonctionne aussi pour le moment uniquement si toute la zone appartient à une seule branche droite de sa ligne d'influence ; elle échoue en général pour une zone traversant la section.

\[ R_{A,q}=q_j A_{R_Aj},\qquad R_{B,q}=q_j A_{R_Bj}, \qquad F_{qj}=q_jL_q. \]

Ligne d'influence de la réaction de l'appui gauche

Ligne d'influence de la réaction de l'appui droit

4

Effort tranchant

Gardez la section fixe et faites varier la coordonnée de charge \(z\). Les essieux à gauche de la section donnent des ordonnées négatives d'effort tranchant ; ceux à droite donnent des ordonnées positives.

\[ f_V(z)= \begin{cases} -z/L,&0\le z\lt x,\\ (L-z)/L,&x\lt z\le L. \end{cases} \qquad f_V(x^-)=-\frac{x}{L},\quad f_V(x^+)=\frac{L-x}{L}. \]

\[ \boxed{V_x(s)=\sum_iP_i\,f_V(z_i(s)) +\sum_j\int_{a_j}^{b_j}q_j(z,s)\,f_V(z)\,dz.} \]

Si un essieu se trouve exactement à la section, indiquez les deux valeurs unilatérales de l'effort tranchant au lieu de moyenner les ordonnées. Le saut de la ligne d'influence vaut +1 lorsque l'essieu passe de gauche à droite ; le saut de réponse vaut donc +\(P_i\). La valeur en un point isolé n'affecte pas l'intégrale d'une charge répartie.

Construction générale de la ligne d'influence de l'effort tranchant avec aires algébriques et ordonnées aux positions des essieux.

Pour la charge uniforme sur toute la portée représentée, les deux aires triangulaires donnent :

\[ A_V^-=-\frac{x^2}{2L},\qquad A_V^+=\frac{(L-x)^2}{2L}, \qquad V_{x,q}=q(A_V^-+A_V^+)=q\left(\frac L2-x\right). \]

5

Moment fléchissant

La ligne d'influence du moment fléchissant est continue et triangulaire, avec des ordonnées positives pour les charges vers le bas à l'intérieur de la portée. Son sommet se trouve à la section fixe.

\[ f_M(z)= \begin{cases} z(L-x)/L,&0\le z\le x,\\ x(L-z)/L,&x\le z\le L. \end{cases} \qquad f_M(x)=\frac{x(L-x)}{L}. \]

\[ \boxed{M_x(s)=\sum_iP_i\,f_M(z_i(s)) +\sum_j\int_{a_j}^{b_j}q_j(z,s)\,f_M(z)\,dz.} \]

Construction générale de la ligne d'influence du moment fléchissant avec ordonnées aux positions des essieux.

Pour une charge uniforme sur toute la portée, l'aire du triangle complet donne :

\[ A_M=\frac12L\,\frac{x(L-x)}{L}=\frac{x(L-x)}2,\qquad M_{x,q}=qA_M. \]

6

Exemple calculé pour une position

Utilisez la charge générique représentée dans les trois figures. La charge de voie couvre toute la portée indépendamment de la position du véhicule et s'ajoute aux charges d'essieux sans zone d'exclusion. Ces valeurs illustratives ne proviennent pas d'une norme de calcul et n'incluent ni impact ni coefficients de charge.

\[ L=20\,\mathrm m,\quad x=8\,\mathrm m,\quad s=4\,\mathrm m,\quad d_{1,2}=5\,\mathrm m,\quad d_{2,3}=4\,\mathrm m, \] \[ (P_1,P_2,P_3)=(60,100,100)\,\mathrm{kN},\quad (z_1,z_2,z_3)=(s,s+d_{1,2},s+d_{1,2}+d_{2,3}) =(4,9,13)\,\mathrm m,\quad q=6\,\mathrm{kN/m}. \]

Réactions d'appui

Position d'exemple : trois charges d'essieux à 4, 9 et 13 m sur une poutre de 20 m, plus une charge uniforme de voie de 6 kN/m sur toute la portée. La section est en x = 8 m. Les flèches longues représentent les essieux ; les flèches courtes représentent la charge répartie.

\[ R_A=60(0.80)+100(0.55)+100(0.35)+\frac{6(20)}2 =\boxed{198\,\mathrm{kN}}, \] \[ R_B=60(0.20)+100(0.45)+100(0.65)+\frac{6(20)}2 =\boxed{182\,\mathrm{kN}}. \]

Effort tranchant

\[ (\eta_V(z_1),\eta_V(z_2),\eta_V(z_3))=(-0.20,0.55,0.35), \quad (A_V^-,A_V^+)=(-1.60,3.60)\,\mathrm m, \] \[ V_x=60(-0.20)+100(0.55)+100(0.35)+6(-1.60+3.60) =\boxed{90\,\mathrm{kN}}. \]

Moment fléchissant

Même position de charge au-dessus de la ligne d'influence du moment, tracée vers le bas du côté tendu. Toutes les ordonnées de moment sont positives malgré leur tracé sous la ligne de base. Additionnez Pi ηM(zi) pour les essieux et q fois l'aire triangulaire ombrée AM = 48 m² pour la charge sur toute la portée.

\[ (\eta_M(z_1),\eta_M(z_2),\eta_M(z_3))=(2.40,4.40,2.80)\,\mathrm m, \quad A_M=48\,\mathrm{m^2}, \] \[ M_x=60(2.40)+100(4.40)+100(2.80)+6(48) =\boxed{1152\,\mathrm{kN\,m}}. \]

Vérifiez les réactions avec la charge verticale totale, puis les efforts de section directement à partir du corps libre gauche. Seuls l'essieu à 4 m et les premiers 8 m de charge de voie se trouvent à gauche de la coupe :

\[ R_A+R_B=380=60+100+100+6(20)\quad[\mathrm{kN}], \] \[ V_x=198-60-6(8)=90\,\mathrm{kN},\qquad M_x=198(8)-60(8-4)-\frac{6(8)^2}{2}=1152\,\mathrm{kN\,m}. \]

7

Vérifications et limites

Les calculs ci-dessus correspondent à une position arbitraire prescrite du véhicule, pas nécessairement critique. Pour obtenir les extrêmes à une section fixe, translatez le groupe complet d'essieux en conservant leurs espacements, y compris à l'entrée et à la sortie, et évaluez chaque disposition admissible des charges réparties. Pour l'effort tranchant, vérifiez les deux côtés de chaque passage d'essieu. Recherchez séparément les extrêmes positif et négatif. Ne chargez que les régions favorables si les règles de chargement l'autorisent ; ne supprimez pas les charges défavorables imposées par ces règles. Répétez pour d'autres sections afin de construire une enveloppe.

Il s'agit d'une explication statique unidimensionnelle, pas d'un calcul de pont conforme à une norme. Une application de dimensionnement doit préciser la norme applicable, les combinaisons de véhicules et de voies, l'amplification dynamique, les coefficients de charge et de combinaison, les règles de présence simultanée, la répartition transversale aux poutres et les vérifications requises de fatigue ou de service. Un ingénieur qualifié doit vérifier ces exigences ; cet exemple ne les fournit pas.

Avec seulement des charges verticales dans ce modèle idéalisé de poutre, l'effort normal est nul. Le freinage, la traction, les actions horizontales, la torsion et les effets locaux des roues nécessitent des modèles supplémentaires.