Démonstration des lignes d'influence d'une poutre simplement appuyée

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Modèle structurel

Considérons le modèle structurel d'une poutre simplement appuyée de portée \(L\) reliant les points \(A\) et \(B\). Le point \(A\) est un appui fixe (appui du deuxième genre) et le point \(B\) est un appui simple glissant (appui du premier genre). Une charge concentrée gravitationnelle d'intensité \(P\) est située en un point de coordonnée \(z\), mesurée depuis \(A\). Les résultats recherchés sont les réactions d'appui \(R_A\) ou \(R_B\), ou un effort interne (effort tranchant ou moment fléchissant) dans une section donnée \(S_x\) de la poutre.

\[ 0\le z\le L \]

\(L\): Portée de la poutre
\(z\): Position variable de la charge
\(P\): Intensité de la charge (descendante)
\(R_A, R_B\): Réactions d'appui ascendantes

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Réactions d'appui

L'équilibre vertical et l'équilibre des moments autour de \(A\) donnent

\[ \sum F_y=0:\qquad R_A+R_B-P=0, \] \[ \sum M_A=0:\qquad R_B L-P\,z=0. \]

Par conséquent, les réactions d'appui sont des fonctions linéaires de \(z\) :

\[ \boxed{R_A(z)=P\,\frac{L-z}{L}}, \qquad \boxed{R_B(z)=P\,\frac{z}{L}}. \]

\(R_A(z)\): Réaction de l'appui gauche due à une charge de magnitude \(P\) en position \(z\)
\(R_B(z)\): Réaction de l'appui droit due à une charge de magnitude \(P\) en position \(z\)

L'identité \(R_A(z)+R_B(z)=P\) est une vérification d'équilibre utile pour chaque position de charge.

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Lignes d'influence

Mathématiquement parlant, une ligne d'influence est un graphique qui représente une fonction de la forme \(y=f(z)\) en un point (ou une section) de la structure, où la variable indépendante (abscisse) est la position \(z\) d'une charge unitaire mobile, et l'ordonnée \(y\) correspond à la valeur d'une réponse recherchée, telle qu'une réaction d'appui ou un effort interne (effort tranchant ou moment fléchissant).

En d'autres termes, pour chaque position de charge \(z\), l'ordonnée de la ligne d'influence est la réponse sélectionnée causée par une charge de magnitude un. Les ordonnées des lignes d'influence des réactions et de l'effort tranchant sont sans dimension ; celles du moment ont une unité de longueur.

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Lignes d'influence des réactions d'appui

En posant \(P=1\), on obtient les lignes d'influence des réactions d'appui, linéaires en \(z\) :

\[ \boxed{R_{AI}(z)=\frac{L-z}{L}}, \qquad \boxed{R_{BI}(z)=\frac{z}{L}}. \]

\(R_{AI}(z)\): Fonction de la ligne d'influence de la réaction de l'appui gauche
\(R_{BI}(z)\): Fonction de la ligne d'influence de la réaction de l'appui droit

Ligne d'influence de la réaction de l'appui gauche

Ligne d'influence de la réaction de l'appui droit

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Efforts internes

Imaginons que la poutre soit coupée à une section \(S_x\) de coordonnée \(x\), créant deux corps libres, puis examinons les forces à gauche ou à droite de la coupe. L'effort tranchant \(V\) est défini comme la somme algébrique des forces verticales externes agissant sur le corps libre choisi (à gauche ou à droite de la section). Le moment fléchissant \(M\) est défini comme la somme algébrique des moments par rapport à la section \(S_x\) de toutes les forces externes agissant sur le corps libre choisi. L'expression utilisée pour calculer les efforts internes dépend du côté de la section où se trouve la charge mobile. Cela donne deux cas :

<strong>Cas 1 :</strong> la section \(S_x\) est située à gauche de la charge \(P\). Dans ce cas, \(x\lt z\). — **Cas 1 :** la section \(S_x\) est située à gauche de la charge \(P\). Dans ce cas, \(x\lt z\).

<strong>Cas 2 :</strong> la section \(S_x\) est située à droite de la charge \(P\). Dans ce cas, \(x\gt z\). — **Cas 2 :** la section \(S_x\) est située à droite de la charge \(P\). Dans ce cas, \(x\gt z\).

\[ 0\le x\le L \]

\(x\): Position variable d'une section \(S_x\)

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Effort tranchant

L’effort tranchant \(V\) agissant dans une section \(S_x\) est défini comme la somme de toutes les forces transversales (dans ce cas, les forces verticales) agissant d’un côté donné de cette section \(S_x\). Une convention de signes est adoptée : les forces verticales agissant à gauche de la section sont positives lorsqu’elles sont orientées vers le haut et négatives lorsqu’elles sont orientées vers le bas. Pour les forces verticales agissant à droite de la section, la convention de signes est inversée.

Dans le contexte d'une poutre soumise à une seule charge verticale \(P\), l'effort tranchant agissant dans une section \(S_x\), située en \(x\), dû à une charge \(P\) en \(z\), est représenté par \(V(x,z)\), c'est-à-dire comme une fonction de deux variables, \(x\) et \(z\).

\(V(x,z)\): Effort tranchant à la section \(S_x\), située en \(x\), dû à une charge \(P\) en \(z\)

Cas 1 : la section \(S_x\) est située à gauche de la charge \(P\). Dans ce cas, \(x\lt z\).

Le corps libre gauche ne contient que la réaction gauche :

\[ V(x,z)=R_A(z)=P\,\frac{L-z}{L}. \]

Cas 2 : la section \(S_x\) est située à droite de la charge \(P\). Dans ce cas, \(x\gt z\).

Le corps libre gauche contient à la fois \(R_A\) et la charge descendante \(P\) :

\[ V(x,z)=R_A(z)-P =P\,\frac{L-z}{L}-P =-P\,\frac{z}{L}. \]

La combinaison des deux équations ci-dessus donne l'effort tranchant à la section \(S_x\) dû à une charge \(P\) en \(z\) :

\[ \boxed{ V(x,z)= \begin{cases} R_A(z)=P\,\dfrac{L-z}{L}, & x\lt z,\\[6pt] R_A(z)-P=-P\,\dfrac{z}{L}, & x\gt z. \end{cases}} \]

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Diagramme de l'effort tranchant

Pour le diagramme de l'effort tranchant, l'intensité \(P\) de la charge reste générale et la position de la charge est fixée à une valeur constante \(z=z_c\). Le diagramme de l'effort tranchant est alors une fonction de la seule position \(x\) de la section, définie par \(V_D(x)=V(x,z_c)\). La section est à gauche de la charge pour \(x\lt z_c\) et à droite pour \(x\gt z_c\) ; le résultat ci-dessus donne donc :

\[ \boxed{ V_D(x)= \begin{cases} R_A(z_c)=P\,\dfrac{L-z_c}{L}, & x\lt z_c,\\[6pt] R_A(z_c)-P=-P\,\dfrac{z_c}{L}, & x\gt z_c. \end{cases}} \]

L'effort tranchant est constant de part et d'autre de la charge et chute de \(P\) en \(x=z_c\), où la charge est appliquée : \(V_D(z_c^+)-V_D(z_c^-)=-P\). Le diagramme est tracé ci-dessous pour une charge en \(z=z_c\).

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Ligne d'influence de l'effort tranchant

Pour obtenir la ligne d'influence de l'effort tranchant, on pose \(P=1\) et on fixe la position de la section à une valeur constante \(x=x_c\). La ligne d'influence est alors une fonction de la seule position \(z\) de la charge, définie par \(V_I(z)=V(x_c,z)\). D'après le résultat précédent :

\[ \boxed{ V_I(z)= \begin{cases} R_{AI}(z)-1=-\dfrac{z}{L}, & z\lt x_c,\\[6pt] R_{AI}(z)=\dfrac{L-z}{L}, & z\gt x_c. \end{cases}} \]

À la section, l'effort tranchant possède deux valeurs unilatérales : l'ordonnée minimale \(V_{ILmin}\), pour la charge immédiatement à gauche de la section (\(z=x_c^-\)), et l'ordonnée maximale \(V_{ILmax}\), pour la charge immédiatement à droite (\(z=x_c^+\)) :

\[ V_{Imin}=V_I(z=x_c^-)=-\frac{x_c}{L}, \qquad V_{Imax}=V_I(z=x_c^+)=\frac{L-x_c}{L}, \] \[ V_{Imax}-V_{Imin}=1. \]

La discontinuité unitaire se produit parce que la charge unitaire mobile entre dans le corps libre ou en sort exactement en \(x\). Le calculateur indique donc les deux limites au lieu d'attribuer une ordonnée arbitraire à la discontinuité.

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Moment fléchissant

Le moment fléchissant \(M\) agissant dans une section \(S_x\) est défini comme la somme algébrique des moments, par rapport à cette section, de toutes les forces externes agissant d’un côté donné de la section. Une convention de signes est adoptée : les moments fléchissants positifs sont ceux qui tendent à mettre en traction les fibres inférieures, et les moments négatifs sont ceux qui tendent à mettre en compression les fibres supérieures.

Dans le contexte d'une poutre soumise à une seule charge verticale \(P\), le moment fléchissant agissant dans une section \(S_x\), située en \(x\), dû à une charge \(P\) en \(z\), est représenté par \(M(x,z)\), c'est-à-dire comme une fonction de deux variables, \(x\) et \(z\).

\(M(x,z)\): Moment fléchissant à la section \(S_x\), située en \(x\), dû à une charge \(P\) en \(z\)

Cas 1 : la section \(S_x\) est située à gauche de la charge \(P\). Dans ce cas, \(x\lt z\).

La charge \(P\) est absente du corps libre gauche, donc

\[ M(x,z)=R_A(z)x=P\,\frac{x(L-z)}{L}. \]

Cas 2 : la section \(S_x\) est située à droite de la charge \(P\). Dans ce cas, \(x\gt z\).

En prenant les moments des forces du côté gauche autour de la coupe, on obtient

\[ \begin{aligned} M(x,z) &=R_A(z)x-P\,(x-z)\\ &=P\,\frac{L-z}{L}x-P\,x+P\,z\\ &=P\,\frac{z(L-x)}{L}. \end{aligned} \]

La combinaison des deux dernières équations ci-dessus donne le moment fléchissant à la section \(S_x\) dû à une charge \(P\) en \(z\) :

\[ \boxed{ M(x,z)= \begin{cases} P\,\dfrac{x(L-z)}{L}, & x\le z,\\[6pt] P\,\dfrac{z(L-x)}{L}, & x\ge z. \end{cases}} \]

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Diagramme du moment fléchissant

Pour le diagramme du moment fléchissant, l'intensité \(P\) de la charge reste générale et la position de la charge est fixée à une valeur constante \(z=z_c\). Le diagramme est alors une fonction de la seule position \(x\) de la section, définie par \(M_D(x)=M(x,z_c)\). La section est à gauche de la charge pour \(x\le z_c\) et à droite pour \(x\ge z_c\) ; le résultat ci-dessus donne donc :

\[ \boxed{ M_D(x)= \begin{cases} P\,\dfrac{x(L-z_c)}{L}, & x\le z_c,\\[6pt] P\,\dfrac{z_c(L-x)}{L}, & x\ge z_c. \end{cases}} \]

Le diagramme est continu et linéaire par morceaux, et sa pente est l'effort tranchant \(V_D(x)\). Le moment fléchissant maximal se produit sous la charge :

\[ M_{Dmax}=M_D(x=z_c)=P\,\frac{z_c(L-z_c)}{L}. \]

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Ligne d'influence du moment fléchissant

Pour obtenir la ligne d'influence du moment fléchissant, on pose \(P=1\) et on fixe la position de la section à une valeur constante \(x=x_c\). La ligne d'influence est alors une fonction de la seule position \(z\) de la charge, définie par \(M_I(z)=M(x_c,z)\). D'après le résultat précédent :

\[ \boxed{ M_I(z)= \begin{cases} \dfrac{z(L-x_c)}{L}, & z\le x_c,\\[6pt] \dfrac{x_c(L-z)}{L}, & z\ge x_c \end{cases}} \]

Contrairement à l'effort tranchant, le moment est continu à la section. Les deux branches produisent la même ordonnée maximale :

\[ M_{Imax}=M_I(z=x_c)=\frac{x_c(L-x_c)}{L}. \]

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Vérifications et limites

Pour \(z=0\) : \(R_A(z)=R_A(0)=P\), \(R_B(z)=R_B(0)=0\) et \(M(x,z)=M(x,0)=0\).
Pour \(z=L\) : \(R_A(z)=R_A(L)=0\), \(R_B(z)=R_B(L)=P\) et \(M(x,z)=M(x,L)=0\).
Le saut d'effort tranchant en \(z=x\) est exactement égal à l'intensité \(P\) de la charge (égale à 1 pour la ligne d'influence), tout comme la chute du diagramme de l'effort tranchant en \(x=z_c\).
L'ordonnée de la ligne d'influence du moment \(M_I(z)\) a une unité de longueur car elle correspond au produit d'une force unitaire sans dimension et d'une distance (longueur), tandis que les ordonnées de \(M_D(x)\) ont une unité de force fois longueur.

Ces expressions supposent une poutre simplement appuyée, linéaire, isostatique et à une seule travée, ainsi qu'une charge concentrée. Les porte-à-faux, les articulations internes, les charges mobiles réparties et les systèmes hyperstatiques nécessitent des formulations supplémentaires.