Poutre simplement appuyée sous trois charges concentrées mobiles

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Modèle structurel

Considérons une poutre simplement appuyée de portée \(L\) soumise à trois charges concentrées mobiles \(P_1\), \(P_2\) et \(P_3\) qui se déplacent ensemble sans modifier leurs espacements intermédiaires \(d_{1,2}\) et \(d_{2,3}\), comme le montre la figure. La position \(s\) sert de référence pour situer le véhicule. On suppose que la position \(z_1\) de la première charge coïncide avec \(s\), de sorte que \(z_1=s\) ; les autres positions \(z_2\) et \(z_3\) sont déterminées par les espacements fixes entre les charges.

Trois charges ponctuelles mobiles sur une poutre simplement appuyée, avec la position de référence, et les espacements intermédiaires successifs.

\[ z_1(s)=s,\qquad z_2(s)=s+d_{1,2},\qquad z_3(s)=s+d_{1,2}+d_{2,3} \]

ou, plus généralement,

\[ z_j(s)=s+\sum_{i=1}^{j-1}d_{i,(i+1)},\qquad j\gt 1. \]

\(L\): Portée de la poutre
\(x_c\): beams.theory.
\(P_j\): Magnitude de la charge concentrée \(j\)
\(z_j\): Position de la charge concentrée \(j\)
\(d_{j,j+1}\): Distance entre charges concentrées consécutives \(j\) et \(j+1\)
\(R_A, R_B\): Réactions d'appui ascendantes

Les charges concentrées dirigées vers le bas et les réactions d'appui dirigées vers le haut sont positives.

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Réactions d'appui

Pour déterminer les réactions d'appui dues à toutes les différentes charges concentrées de valeur \(P_j\) situées sur la poutre, il est pratique d'utiliser les lignes d'influence conjointement avec le principe de superposition des effets.

Revoir la théorie concernant les lignes d'influence des réactions d'appui.

\[ R_{AI}(z)=\frac{L-z}{L},\qquad R_{BI}(z)=\frac{z}{L} \quad(0\le z\le L). \]

Selon le principe de superposition des effets, les réactions d'appui totales \(R_A(s)\) ou \(R_B(s)\) d'une structure soumise à plusieurs charges se déterminent en additionnant les contributions individuelles de chaque charge : on multiplie le valeur \(P_j\) de chaque charge \(j\) par l'ordonnée correspondante \(R_{AI}(z_j(s))\) ou \(R_{BI}(z_j(s))\) de la ligne d'influence évaluée à la position \(z_j(s)\) de cette charge, puis on additionne les différentes contributions. Les ordonnées des lignes d'influence sont considérées comme nulles hors de la poutre (c'est-à-dire \(R_{AI}(z_j(s))=0\) et \(R_{BI}(z_j(s))=0\) lorsque \(z_j(s) < 0\) ou \(z_j(s) > L\)).

\[ R_A(s)=P_1 R_{AI}(z_1(s))+P_2 R_{AI}(z_2(s))+P_3 R_{AI}(z_3(s)),\\[6pt] R_B(s)=P_1 R_{BI}(z_1(s))+P_2 R_{BI}(z_2(s))+P_3 R_{BI}(z_3(s)). \]

ou, plus généralement, pour un nombre arbitraire \(n_P\) de charges ponctuelles,

\[ \boxed{R_A(s)=\sum_{j=1}^{n_P}P_j\, R_{AI}(z_j(s)),\qquad R_B(s)=\sum_{j=1}^{n_P}P_j\, R_{BI}(z_j(s)).} \]

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Effort tranchant

Comme pour les réactions d'appui, l'effort tranchant à une section \(S_x\) fixée en une position \(x_c\) dû à toutes les charges concentrées de valeur \(P_j\) situées sur la poutre se détermine à l'aide des lignes d'influence et du principe de superposition des effets.

Revoir la théorie concernant les lignes d'influence de l'effort tranchant.

\[ V_I(z)= \begin{cases} -z/L,&0\le z\lt x_c,\\ (L-z)/L,&x_c\lt z\le L. \end{cases} \\[6pt] V_I(z=x_c^-)=-\frac{x_c}{L},\quad V_I(z=x_c^+)=\frac{L-x_c}{L}. \]

Une charge à gauche de la section \(S_x\) donne une ordonnée d'effort tranchant négative ; une charge à droite donne une ordonnée positive.

On peut alors déterminer l'effort tranchant total \(V(s)\) dû à plusieurs charges en appliquant le principe de superposition des effets : on multiplie la valeur \(P_j\) de chaque charge \(j\) par l'ordonnée correspondante \(V_I(z_j(s))\) de la ligne d'influence évaluée à la position \(z_j(s)\) de cette charge, puis on additionne les contributions. Les ordonnées des lignes d'influence sont considérées comme nulles hors de la poutre (c'est-à-dire \(V_I(z_j(s))=0\) lorsque \(z_j(s) < 0\) ou \(z_j(s) > L\)).

\[ \boxed{V(s)=\sum_{j=1}^{n_P}P_j\, V_I(z_j(s)).} \]

Lorsqu'une charge \(j\) se déplace sur la poutre et franchit la position \(x_c\) de la section fixe \(S_x\), l'effort tranchant change brusquement en raison de la discontinuité de la ligne d'influence. Lorsque la charge ponctuelle se trouve exactement à la section, l'effort tranchant est donc indéterminé. Dans ce cas, il faut considérer séparément les deux valeurs unilatérales de la ligne d'influence : \(V_I(z_j=x_c^-)\) à gauche et \(V_I(z_j=x_c^+)\) à droite de la section. On obtient ainsi deux valeurs distinctes de l'effort tranchant total \(V(s)\) : \(V_{min}(s)=V(s^-)\) pour la charge \(j\) immédiatement à gauche, et \(V_{max}(s)=V(s^+)\) pour la charge \(j\) immédiatement à droite de la section fixe.

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Moment fléchissant

Comme pour l'effort tranchant, le moment fléchissant à la section \(S_x\) fixée en position \(x_c\) dû à toutes les charges concentrées de valeur \(P_j\) sur la poutre se détermine à l'aide des lignes d'influence et du principe de superposition des effets.

Revoir la théorie concernant les lignes d'influence du moment fléchissant.

\[ M_I(z)= \begin{cases} z(L-x_c)/L,&0\le z\le x_c,\\ x_c(L-z)/L,&x_c\le z\le L. \end{cases} \]

La ligne d'influence du moment fléchissant est continue et triangulaire. Son ordonnée est nulle aux appuis, positive pour une charge dirigée vers le bas à l'intérieur de la portée et maximale lorsque la charge est à la section \(S_x\). Le moment fléchissant positif met les fibres inférieures en traction.

Le moment fléchissant total \(M(s)\) dû à plusieurs charges s'obtient par superposition : on multiplie la valeur \(P_j\) de chaque charge \(j\) par l'ordonnée \(M_I(z_j(s))\) de la ligne d'influence du moment à sa position \(z_j(s)\), puis on additionne les contributions. Les ordonnées hors de la poutre sont nulles (c'est-à-dire \(M_I(z_j(s))=0\) lorsque \(z_j(s) < 0\) ou \(z_j(s) > L\)).

\[ \boxed{M(s)=\sum_{j=1}^{n_P}P_j M_I(z_j(s)).} \]

Contrairement à l'effort tranchant, le moment fléchissant reste continu lorsqu'une charge franchit la section fixe \(S_x\). Les deux branches de la ligne d'influence se rejoignent en \(z_j=x_c\) : une charge exactement à la section possède donc une seule ordonnée de moment bien définie, sans qu'il soit nécessaire de considérer des valeurs unilatérales.

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Généralisation pour tout type de réponse

Pour généraliser les fonctions des lignes d'influence des réactions d'appui \(R_{{AI}}(z)\) et \(R_{{BI}}(z)\), de l'effort tranchant \(V_I(z)\) et du moment fléchissant \(M_I(z)\) associées à une seule charge en position \(z\), on définit une fonction générique \(f_I(z)\) qui peut représenter chacune de ces fonctions selon le cas (c'est-à-dire \(f_I(z)=R_{{AI}}(z)\), \(f_I(z)=R_{{BI}}(z)\), \(f_I(z)=V_I(z)\) ou \(f_I(z)=M_I(z)\)).

De même, pour les réponses totales des réactions d'appui \(R_A(s)\) et \(R_B(s)\), de l'effort tranchant \(V(s)\) et du moment fléchissant \(M(s)\) dues à plusieurs charges concentrées de valeur \(P_j\), positionnées par rapport à la distance de référence \(s\), on définit une fonction de réponse générale \(F(s)\) qui peut représenter chacune de ces réponses selon le cas (c'est-à-dire \(F(s)=R_A(s)\), \(F(s)=R_B(s)\), \(F(s)=V(s)\) ou \(F(s)=M(s)\)).

Selon le principe de superposition des effets, la réponse totale d'une structure soumise à plusieurs charges est la somme des contributions individuelles : multipliez chaque charge par l'ordonnée de la ligne d'influence à sa position et additionnez les trois contributions. Les ordonnées des lignes d'influence sont considérées comme nulles hors de la poutre (c'est-à-dire \(f_I(z)=0\) pour \(z < 0\) ou \(z > L\)).

\[ \boxed{F(s)=P_1 f_I(z_1(s))+P_2 f_I(z_2(s))+P_3 f_I(z_3(s)).} \]

ou, plus généralement, pour un nombre arbitraire \(n_P\) de charges ponctuelles,

\[ \boxed{F(s)=\sum_{j=1}^{n_P}P_j f_I(z_j(s)).} \]

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Exemple calculé pour une position

À cette position du véhicule, calculez les réactions et les efforts internes à la section fixe. Il ne s'agit pas d'un maximum sur toutes les positions.

Exemple numérique : charges de 60, 100 et 100 kN à 4, 9 et 13 m sur une poutre de 20 m ; section à 8 m.

\[ L=20\,\mathrm m,\quad x=8\,\mathrm m,\quad s=4\,\mathrm m,\quad d_{1,2}=5\,\mathrm m,\quad d_{2,3}=4\,\mathrm m, \] \[ (P_1,P_2,P_3)=(60,100,100)\,\mathrm{kN},\qquad (z_1,z_2,z_3)=(4,9,13)\,\mathrm m. \]

Réactions d'appui

\[ R_A=60(0.80)+100(0.55)+100(0.35)=\boxed{138\,\mathrm{kN}}, \] \[ R_B=60(0.20)+100(0.45)+100(0.65)=\boxed{122\,\mathrm{kN}}. \]

Effort tranchant

\[ (V_I(z_1),V_I(z_2),V_I(z_3))=(-0.20,0.55,0.35), \] \[ V_S=60(-0.20)+100(0.55)+100(0.35)=\boxed{78\,\mathrm{kN}}. \]

Moment fléchissant

\[ (M_I(z_1),M_I(z_2),M_I(z_3))=(2.40,4.40,2.80)\,\mathrm m, \] \[ M_S=60(2.40)+100(4.40)+100(2.80)=\boxed{864\,\mathrm{kN\,m}}. \]

Vérifiez les réactions par l'équilibre vertical, puis l'effort tranchant et le moment avec le corps libre gauche :

\[ R_A+R_B=260=60+100+100\quad[\mathrm{kN}],\qquad V_S=138-60=78\,\mathrm{kN}, \] \[ M_S=138(8)-60(8-4)=864\,\mathrm{kN\,m}. \]

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Vérifications et limites

Pour les autres positions du véhicule, modifiez \(s\) en gardant les espacements fixes et réévaluez chaque ordonnée. Au passage d'un appui, une charge commence ou cesse de contribuer ; au passage de la section, utilisez la valeur unilatérale appropriée de l'effort tranchant.

Cet exemple ne traite qu'une position. La recherche d'un maximum ou d'un minimum nécessite l'examen des positions permises et des configurations de charge pertinentes ; vérifiez séparément les règles de conception applicables.

Dans ce modèle de poutre sous charges verticales, l'effort normal est nul. Les actions horizontales, la torsion et les effets locaux des roues nécessitent des modèles supplémentaires.