Introdução à Análise Estrutural

1 Objetivo da Análise Estrutural

A análise estrutural tem como objetivo determinar as respostas (resultados) de uma estrutura às ações a que está sujeita. Essas respostas permitem compreender seu comportamento e fornecem informações para verificações de segurança e de desempenho.

As respostas de intereste mais comuns na análise estrutural são:

• reações de apoio (forças e momentos);

• esforços internos (esforço normal, esforço cortante, momento fletor e momento torçor);

• tensões normais e cisalhantes;

• deslocamentos translacionais e rotações;

• deformações normais e distorções por cisalhamento.

As ações mais usuais consideradas na análise estrutural são provenientes de cargas tais como o peso próprio da estrutura, as sobrecargas de uso e as forças devidas ao vento. As ações também podem envolver variações de temperatura, retração do concreto, recalques de apoio e movimentos da base, como os provocados por terremotos, etc.

De uma forma bem ampla, pode-se atingir este objetivo – qual seja, a determinação das respostas de uma estrutura correspondente a um conjunto de ações – através de duas metodologias gerais, a saber:

1. o método empírico da análise experimental;

2. o método racional da análise teórica.

Na análise experimental, medem-se respostas da estrutura real ou de um modelo físico em laboratório. Extensômetros, transdutores de deslocamento, células de carga e acelerômetros são exemplos de instrumentos utilizados para medir deformações, deslocamentos, forças e acelerações. Os resultados também podem ser empregados para avaliar e calibrar modelos teóricos.

Na análise teórica, formulam-se e resolvem-se equações que representam de forma aproximada o comportamento de um modelo da estrutura). De uma forma geral, pode-se também dizer que os métodos teóricos podem ser classificados em métodos analíticos e numéricos.

Nos métodos analíticos, estabelecem-se equações que governam o problema, com base em determinadas hipóteses simplificadoras, e estas equações são resolvidas de forma analítica, resultando em soluções fechadas exatas (isto é, sem aproximações na solução). No entanto, embora a solução analítica seja considerada exata, ela é na verdade, a solução exata de um problema matemático que representa aproximadamente o problema real. Em análise estrutural, apenas problemas muito simples (com geometria simples, e carregamentos e condições de suporte também simples) são resolvidos analiticamente. Nos métodos analíticos as soluções são expressas de forma literal.

Nos métodos numéricos, estabelecem-se equações que governam o problema, com base em determinadas hipóteses simplificadoras usualmente mais realistas do que as hipóteses simplificadoras adotadas nos métodos analíticos, e estas equações são resolvidas com o auxílio de um computador, de forma aproximada. Nos métodos numéricos, as soluções são expressas com números.

Este artigo trata mais especificamente da análise estrutural teórica.

2 Modelagem Estrutural

É importante ressaltar que embora se utilize a terminologia de “análise de uma estrutura”, na verdade, na análise estrutural teórica, o que se analisa é uma idealização matemática da estrutura real. Ou seja, ao invés de se analisar uma estrutura tal como ela existe ou existirá na realidade, o que se analisa é um modelo simplificado, criado com base em determinadas hipóteses simplificadoras, que têm como objetivo diminuir a complexidade do problema real. A este modelo simplificado, usualmente, se dá o nome de modelo estrutural. Como exemplo, a Figura 1 mostra uma imagem da estrutura real referente a uma ponte ferroviária localizada na Estrada de Ferro Carajás, denominada Ponte sobre o Rio Mearim. Já a Figura 2 mostra o modelo estrutural da ponte utilizada na análise estrutural computacional. A comparação ilustra a representação da estrutura real através da idealização de sua geometria, ligações e condições de apoio.

A criação do modelo é uma das etapas mais importantes da análise. Uma mesma estrutura pode exigir modelos distintos: por exemplo, um para avaliar o comportamento global e outro para estudar tensões em uma ligação. Um modelo mais detalhado não é automaticamente melhor; ele deve ser adequado aos resultados que se quer obter e aos dados disponíveis.

Entre as idealizações frequentemente adotadas, estão:

1. Geometria idealizada sem imperfeições – hipóteses de retas perfeitas, faces planas, retas verticais sem desaprumo, seções transversais constantes, etc;

2. Material homogêneo – material com mesmas propriedades em pontos distintos no espaço;

3. Material isotrópico – material com mesmas propriedades em direções distintas;

4. Material linear elástico – material obedecendo a Lei de Hooke, com tensões proporcionais às deformações, sem limite de resistência, e sem deformações residuais após o descarregamento. Este modelo não descreve escoamento, fissuração ou ruptura e deve ser empregado dentro de seu domínio de validade;

5. Carregamento simplificado – hipóteses de cargas uniformemente distribuídas, perfeitamente trapezoidais, cargas concentradas, cargas sem variação no tempo, etc;

6. Condições de apoio idealizadas – restrições perfeitas a determinados deslocamentos e rotações, conforme o tipo de apoio (por exemplo, apoios do primeiro, segundo ou terceiro gênero perfeito, isto é, sem recalques).

7. Ligações idealizadas – nós considerados perfeitamente rotulados ou rígidos, como em modelos usuais de treliças e pórticos, respectivamente.

Diante de tantas possíveis hipóteses simplificadoras a ser consideradas, a qualidade do modelo estrutural criado depende muito do conhecimento e da experiência do engenheiro que faz a análise, e da disponibilidade e qualidade dos dados do problema. Porém, no caso em que a análise é realizada através de um programa computacional, o grau de realismo do modelo também ficará limitado aos próprios recursos disponíveis neste programa. Por exemplo, se o programa é limitado à análise de estruturas com comportamento linear elástico, não será possível levar em conta na análise, a resistência do material.

3 Tipos de elementos estruturais mais usuais

Em geral as estruturas são formadas por partes menores usualmente denominadas de elementos estruturais.

Embora todos os elementos estruturais reais sejam tridimensionais, sua representação pode ser classificada de acordo com as dimensões predominantes e o comportamento que se deseja estudar:

1. Elementos unidimensionais ou elementos de linha – estes elementos possuem uma dimensão predominante em relação às outras duas. Ou seja, uma dimensão, o comprimento, é muito maior do que as outras duas dimensões da seção transversal. este tipo de elemento também recebe usualmente a denominação de elemento de barra. Exemplos deste tipo de elemento são vigas, pilares e estacas. Seu eixo pode ser reto ou curvo, como no caso das vigas curvas em um plano horizontal, e dos elementos em arco no plano vertical.

2. Elementos bidimensionais ou elementos de superfície – estes elementos possuem duas dimensões predominantes em relação à terceira. Ou seja, uma dimensão, a espessura, é muito menor do que as outras duas dimensões. Exemplos deste tipo de elemento são as lajes ou placas, membranas e cascas. Estes elementos podem ser planos ou curvos no espaço.

3. Elementos tridimensionais ou elementos de volume – estes elementos não possuem em geral uma dimensão predominante, apresentando uma forma mais volumétrica. Exemplos deste tipo de elementos são blocos de fundação e blocos de barragens de gravidade.

4 Tipos de sistemas estruturais mais usuais

A partir da composição de um ou mais tipos de elementos estruturais, formam-se sistemas estruturais de diversas categorias. Alguns dos sistemas estruturais mais usuais são:

1. Estruturas aporticadas ou reticuladas – são estruturas formadas por elementos estruturais unidimensionais (do tipo linha ou barra) conectados entre si através de pontos nodais ou nós. As barras podem estar dispostas ao longo de um eixo, em um plano ou no espaço, formando, respectivamente, estruturas unidimensionais (como é o caso de vigas contínuas), bidimensionais (como treliças e pórticos planos, e grelhas), e tridimensionais (como treliças e pórticos espaciais).

2. Estruturas de superfície – são estruturas formadas por elementos estruturais de superfície conectados entre si através de arestas comuns. Como exemplos deste tipo de sistema estrutural, têm-se as estruturas de armazenamento (reservatórios de água, piscinas, tanques e silos), estruturas de cobertura em casca, etc.

3. Estruturas volumétricas ou sólidas – são estruturas formadas por elementos estruturais de volume conectados entre si através de faces comuns. Como exemplo deste tipo de sistema estrutural, citam-se a barragem de gravidade, e os blocos de coroamento de estacas.

É comum a associação de sistemas estruturais envolvendo diferentes tipos de elementos estruturais em um mesmo modelo. O exemplo mais comum consiste em edifícios em concreto armado, nos quais se pode observar a associação de elementos de barra (representando vigas, pilares e estacas), elementos de placa ou casca (representando as lajes e paredes estruturais) e elementos de volume (representando os blocos de fundação, ou o próprio solo).

5 Tipos de estruturas reticuladas

O sistema de estruturas reticuladas permite é de grande intereste, em função da enorme variedade de estruturas que podem ser representadas por este sistema. Por esta razão, este artigo é direcionado para este tipo de sistema estrutural. Os principais tipos de sistemas estruturais que podem ser classificados como estruturas reticuladas são:

1. Viga simples ou contínua – este sistema é formado por elementos de barras dispostos ao longo de um único eixo. Usualmente, cada elemento de barra representa um vão. Em geral, se considera o carregamento atuando no próprio plano da estrutura, e neste caso, os esforços internos que ocorrem nas seções da viga são o esforço normal, o esforço cortante e o momento fletor. É comum na análise de vigas não se considerar os carregamentos paralelos ao eixo da viga, os quais dão origem ao esforço normal;

2. Pórtico ou quadro plano – este sistema é formado por elementos de barras dispostos em um plano e conectados rigidamente entre si através de pontos nodais. Os elementos de barra representam os pilares (barras verticais) e vigas (barras horizontais ou inclinadas). Geralmente, se considera o carregamento atuando no próprio plano da estrutura, e neste caso, os esforços internos que ocorrem nas seções das barras são o esforço normal, o esforço cortante e o momento fletor;

3. Treliça plana – este sistema é formado por elementos de barras dispostos em um plano e conectados entre si através de pontos nodais perfeitamente rotulados. Como se considera que os nós são perfeitamente rotulados, para que a estrutura seja estável, é imprescindível que as barras sejam dispostas de modo a formar arranjos triangulares. Além disso, a estabilidade depende também da geometria, da conectividade e das restrições de apoio. Considera-se também que as cargas são aplicadas no plano da estrutura e apenas nos nós (não se podendo, assim, considerar diretamente o peso próprio das barras atuando ao longo de seus comprimentos). Com base nestas hipóteses, as barras da treliça ficam sujeitas apenas a esforço normal. Este tipo de sistema estrutural é comumente utilizado para representar estruturas de coberturas metálicas ou de madeira, sendo também bastante comum em pontes metálicas de grandes vãos;

4. Grelha – este sistema é formado por elementos de barras dispostos em um plano e conectados rigidamente entre si através de pontos nodais. Os elementos de barra representam vigas horizontais. Geralmente, se considera o carregamento atuando perpendicularmente ao próprio plano da estrutura, e neste caso, os esforços internos que ocorrem nas seções das barras são o esforço cortante, o momento fletor e o momento torçor. Este tipo de sistema é geralmente utilizado para levar em conta a interação que existe entre vigas em um mesmo plano horizontal da estrutura, tal como ocorre em um pavimento tipo de um edifício.

5. Treliça espacial – este sistema é formado por elementos de barras dispostos no espaço e conectados entre si através de pontos nodais rotulados. Como se considera que os nós são perfeitamente rotulados, para que a estrutura seja estável, é imprescindível que as barras sejam dispostas em arranjos estáveis na forma de tetraedros ou correspondendo às arestas de pirâmides (estendendo o conceito do arranjo triangular do caso de treliça plana para o caso espacial). Estes arranjos são exemplos de configurações utilizadas, mas a estabilidade deve ser verificada considerando o conjunto, suas ligações e seus apoios. Considera-se que as cargas são aplicadas apenas nos nós (não se pode considerar o peso próprio ao longo das barras). Dentro destas hipóteses, as barras da treliça ficam sujeitas apenas a esforço normal. este tipo de sistema estrutural é comumente utilizado para representar estruturas de coberturas metálicas de grandes vãos;

6. Pórtico espacial – este sistema é formado por elementos de barras dispostos no espaço e usualmente conectados rigidamente entre si através de pontos nodais. Os elementos de barra representam as colunas (barras verticais) e vigas (barras horizontais ou inclinadas). De forma geral, as seções das barras são submetidas a esforço normal, duas componentes de esforço cortante, momento torçor e duas componentes de momentos fletores.

6 Teorias de vigas

Na análise de estruturas aporticadas é comum se adotar a teoria de Euler-Bernoulli, o qual é baseada na hipótese simplificadora de que as seções de uma barra permanecem planas e perpendiculares ao eixo da barra, após a atuação das ações externas (aplicação do carregamento). Com esta hipótese, desprezam-se as deformações por cisalhamento na avaliação dos deslocamentos. Isso não significa que o esforço cortante seja nulo.

A importância da deformação causada por cisalhamento depende fundamentalmente da relação entre, por exemplo, o comprimento do vão de uma viga e altura da sua seção transversal, no caso de uma seção retangular.

Existe uma outra teoria de vigas, mais recente e mais precisa, utilizada para a análise de estruturas aporticadas, denominada Teoria de Viga de Timoshenko. Nesta teoria, se admite que as seções permaneçam planas, após a deformação, mas não necessariamente perpendiculares ao eixo da barra, devido ao efeito do cisalhamento.

A Teoria de viga de Timoshenko é mais precisa do que a Teoria de Viga de Euler-Bernoulli, porque ela utiliza uma simplificação a menos: a teoria de viga de Euler-Bernoulli ignora as deformações por cisalhamento. Esta simplificação pode causar diferenças consideráveis entre as duas teorias no caso de vigas curtas (com relação entre comprimento da viga e altura da seção menor do que um valor em torno de 2 ou 3).

Alguns programas para análise estrutural mais sofisticados, como o programa SAP2000, por exemplo, empregam a Teoria de Viga de Timoshenko na análise de estruturas formadas por barras. Entretanto, no programa SAP2000, pode-se indiretamente, forçar a utilização da Teoria de Viga de Bernoulli, impondo que as deformações por cisalhamento sejam nulas. Este efeito é obtido impondo-se que a área de cisalhamento da seção seja infinita.

As duas teorias se aplicam a modelos de barra e possuem limitações. Em regiões próximas a apoios, cargas concentradas ou descontinuidades geométricas, e em elementos curtos (com pequena relação entre comprimento e altura da seção transversal), pode ser necessário utilizar modelos de superfície ou de volume para estudar efeitos locais.