Este artigo mostra como calcular o momento fletor máximo que atua em uma seção fixa de uma viga biapoiada sujeita a três cargas concentradas móveis que representam os eixos de um veículo, a partir dos valores das ordenadas das linhas de influência nas posições das cargas.
1 Momento fletor para uma posição qualquer do veículo
Considere uma viga biapoiada de vão \(L>0\) sujeita a três cargas concentradas móveis verticais para baixo \(P_1\), \(P_2\) e \(P_3\), não negativas, que se deslocam juntas sem mudar os espaçamentos intermediários positivos \(d_{1,2}\) e \(d_{2,3}\). Adota-se uma posição \(s\) como referência para o posicionamento do veículo. Assume-se que a posição \(z_1\) da primeira carga coincide com \(s\), de modo que \(z_1 = s\); as outras posições \(z_2\) e \(z_3\) são automaticamente definidas considerando-se os espaçamentos fixos entre as cargas.
\[\begin{equation} z_1(s)=s,\qquad z_2(s)=s+d_{1,2},\qquad z_3(s)=s+d_{1,2}+d_{2,3} \end{equation}\]
No caso particular em que os espaçamentos entre as cargas são iguais, ou seja, \(d_{1,2} = d_{2,3} = d\), as posições das cargas em função da posição de referência \(s\) são dadas por:
\[\begin{equation} z_1(s) = s, \qquad z_2(s) = s + d, \qquad z_3(s) = s + 2d \end{equation}\]
A linha de influência de momento fletor em uma seção \(S_x\) na posição fixa \(x_c\), associada a uma carga vertical unitária posicionada em \(z\), com a possibilidade de que a carga esteja em uma posição qualquer (inclusive fora do vão da viga, com \(z<0\) ou \(z>L\)) é definida pela seguinte equação:
\[\begin{equation} M_I(z)= \begin{cases} \dfrac{z(L-x_c)}{L}, & 0\le z\le x_c,\\[6pt] \dfrac{x_c(L-z)}{L}, & x_c<z\le L,\\[6pt] 0, & z\notin[0,L] \end{cases} \end{equation}\]
Conforme já demonstrado, o momento fletor atuante em uma seção fixa é dado pela soma do produto das magnitudes das cargas pelas ordenadas das linhas de influência de momento fletor nas posições das cargas:
\[\begin{equation} M(s) = P_1 M_I\big(z_1(s)\big) + P_2 M_I\big(z_2(s)\big) + P_3 M_I\big(z_3(s)\big) \end{equation}\]
No caso particular em que as magnitudes das três cargas são iguais a \(P_m\), ou seja \(P_1 = P_2 = P_3 = P_m\), o momento fletor na seção fixa devido às três cargas é dado por:
\[\begin{equation} M(s) = P_m \big[ M_I\big(z_1(s)\big) + M_I\big(z_2(s)\big) + M_I\big(z_3(s)\big) \big] \end{equation}\]
Desta forma, é possível determinar o momento fletor em qualquer seção fixa da viga à medida que as cargas se deslocam ao longo do vão.
No entanto, a determinação do momento fletor máximo requer a determinação das posições críticas das cargas. Para o caso específico de estruturas isostáticas, as linhas de influência são funções lineares por trechos (ou seja, formada por diferentes segmentos de retas, resultando em uma função poligonal). Como base no fato de que a soma de funções lineares por trechos também resulta em uma função linear por trechos, conclui-se que o momento fletor máximo ocorrerá em uma das posições em que uma das cargas concentradas coincide com um dos vértices da poligonal.
No caso específico do momento fletor em uma viga simplesmente apoiada, a linha de influência possui dois trechos lineares no vão, é nula nos apoios e apresenta um vértice na posição da seção fixa \(x_c\). Sua extensão por zero fora do vão também introduz vértices nos apoios. Entretanto, para cargas não negativas, a entrada ou saída de uma carga produz um salto não negativo da inclinação de \(M(s)\), não gerando um máximo isolado. Assim, ao considerar a passagem completa do veículo, pelo menos uma posição de máximo ocorre quando uma das cargas está exatamente sobre a seção fixa, ou seja, quando \(z_i(s) = x_c\) para algum \(i \in \{1,2,3\}\). Um patamar de valores máximos pode incluir outras posições.
Embora o veículo seja representado por três cargas móveis, e que o veículo se desloca sobre a viga, é importante considerar não apenas a situação em que o veículo se encontra totalmente sobre a viga (isto é com as três cargas atuando simultaneamente sobre a viga), mas também os casos em que apenas uma ou duas cargas estão sobre a viga. Os cenários com carga sobre a viga são:
Cenário 1 - Apenas uma carga está sobre a viga.
Cenário 2 - Duas cargas estão sobre a viga.
Cenário 3 - As três cargas estão sobre a viga.
Se \(L<d\), entre a saída de uma carga e a entrada da seguinte há também intervalos sem nenhuma carga sobre a viga. Neles, \(M(s)=0\); não é necessário acrescentá-los à comparação dos máximos. A seguir, ilustram-se as posições candidatas em que uma carga está sobre a seção, e não todas as posições possíveis do veículo.
2 Cenário 1 - Apenas uma carga está sobre a viga
Daqui em diante, adotam-se cargas iguais a \(P_m\) e espaçamentos iguais a \(d>0\), com \(0\le x_c\le L\). Neste cenário, apenas uma carga está sobre a viga. Quando \(P_1\) está na seção, isso exige \(x_c+d>L\); quando \(P_3\) está na seção, exige \(x_c-d<0\). Apenas \(P_2\) está no vão quando \(x_c-d<0\) e \(x_c+d>L\). Para uma seção interna, isso pode ocorrer sempre que \(L<2d\): se \(L\le d\), vale em qualquer seção interna; se \(d<L<2d\), exige-se \(L-d<x_c<d\).
Neste cenário, tem-se os seguintes possíveis casos:
Caso 1.a – a posição \(z_1\) da carga \(P_1\) coincide com a posição \(x_c\) da seção. As cargas \(P_2\) e \(P_3\) estão fora da viga.
Caso 1.b – a posição \(z_2\) da carga \(P_2\) coincide com a posição \(x_c\) da seção. A carga \(P_1\) está à esquerda da viga e a carga \(P_3\) está à direita.
Caso 1.c – a posição \(z_3\) da carga \(P_3\) coincide com a posição \(x_c\) da seção. As cargas \(P_1\) e \(P_2\) estão fora da viga.
2.1 Caso 1.a - A posição \(z_1\) da carga \(P_1\) coincide com a posição \(x_c\) da seção
Neste caso, tem-se:
\[\begin{equation} z_1(s) = s = x_c, \quad z_2(s) = s + d = x_c + d > L, \quad z_3(s) = s + 2d = x_c + 2d > L \end{equation}\]
2.2 Caso 1.b - A posição \(z_2\) da carga \(P_2\) coincide com a posição \(x_c\) da seção
As cargas vizinhas ficam fora do vão quando \(P_2\) está na seção e \(x_c-d<0\), \(x_c+d>L\):
\[\begin{equation} s=x_c-d,\qquad z_1(s)=x_c-d<0,\qquad z_2(s)=x_c,\qquad z_3(s)=x_c+d>L. \end{equation}\]
2.3 Caso 1.c - A posição \(z_3\) da carga \(P_3\) coincide com a posição \(x_c\) da seção
Neste caso, tem-se:
\[\begin{equation} s=x_c-2d,\quad z_1(s)=s=x_c-2d<0,\quad z_2(s)=s+d=x_c-d<0,\quad z_3(s)=s+2d=x_c \end{equation}\]
Nos três casos 1.a, 1.b e 1.c, seja \(P_j\) a única carga no vão, coincidente com a seção, de modo que \(z_j=x_c\) para \(j\in\{1,2,3\}\). Para \(i\in\{1,2,3\}\), as ordenadas são:
\[\begin{equation} M_I(z_i)= \begin{cases} \dfrac{x_c(L-x_c)}{L}, & i=j,\\[6pt] 0, & i\ne j. \end{cases} \end{equation}\]
Logo, o momento na seção é o mesmo nos três casos, pois as cargas têm intensidade igual:
\[\begin{equation} M^{(1)}_{S_x}=P_m M_I(z_j)=\dfrac{P_m x_c(L-x_c)}{L},\qquad j\in\{1,2,3\}. \end{equation}\]
3 Cenário 2 - Apenas duas cargas estão sobre a viga
Neste cenário, apenas duas cargas consecutivas estão sobre a viga: como \(z_1<z_2<z_3\), não é possível que \(P_1\) e \(P_3\) estejam no vão sem \(P_2\). Para o caso 2.a, exige-se \(x_c+d\le L<x_c+2d\); para 2.b, \(0\le x_c-d\) e \(x_c+d>L\); para 2.c, \(x_c-2d<0\le x_c-d\); e para 2.d, \(x_c-d<0\) e \(x_c+d\le L\).
Neste cenário, tem-se os seguintes possíveis casos:
Caso 2.a – a posição \(z_1\) da carga \(P_1\) coincide com a posição \(x_c\) da seção fixa, e a carga \(P_2\) também está sobre a viga próxima ao apoio direito. A carga \(P_3\) está fora da viga;
Caso 2.b – a carga \(P_2\) está na seção e \(P_1\) também está sobre a viga; \(P_3\) está fora à direita;
Caso 2.c – a posição \(z_3\) da carga \(P_3\) coincide com a posição \(x_c\) da seção fixa, e a carga \(P_2\) também está sobre a viga próxima ao apoio esquerdo. A carga \(P_1\) está fora da viga;
Caso 2.d – a carga \(P_2\) está na seção e \(P_3\) também está sobre a viga; \(P_1\) está fora à esquerda.
3.1 Caso 2.a - A posição \(z_1\) da carga \(P_1\) coincide com a posição \(x_c\) da seção
Neste caso, tem-se:
\[\begin{equation} z_1(s) = s = x_c, \quad z_2(s) = s + d = x_c + d, \quad z_3(s) = s + 2d = x_c + 2d > L \end{equation}\]
Como a carga \(P_3\) está fora da viga, a ordenada correspondente da linha de influência é nula (ou seja, \(M_I^{(2.a)}(z_3) = 0\)), de modo que sua contribuição para o momento fletor na seção \(x_c\) também é nula. Assim, os valores das ordenadas das linhas de influência para cada posição das cargas são:
\[\begin{equation} \begin{aligned} M_I^{(2.a)}(z_1) &= M_I^{(1.a)}(z_1) = \dfrac{z_1(L-x_c)}{L} = \dfrac{x_c(L-x_c)}{L}, \\ M_I^{(2.a)}(z_2) &= \dfrac{x_c(L-z_2)}{L} = \dfrac{x_c[L-(x_c+d)]}{L},\\ M_I^{(2.a)}(z_3) &= 0 \end{aligned} \end{equation}\]
De modo que:
\[\begin{equation} \begin{aligned} M^{(2.a)}_{S_x} &= P_m [ M_I^{(2.a)}(z_1) + M_I^{(2.a)}(z_2) + M_I^{(2.a)}(z_3) ]\\ &= \dfrac{P_m x_c}{L} \{ [L-(x_c)] + [L-(x_c+d)] + 0 \}\\ &= \dfrac{P_m x_c}{L}(2L-2x_c-d) \end{aligned} \end{equation}\]
3.2 Caso 2.b - A carga \(P_2\) coincide com a seção, com \(P_1\) no vão
Aqui, \(z_1=x_c-d\), \(z_2=x_c\) e \(z_3=x_c+d>L\). As duas cargas atuantes ocupam as mesmas posições relativas à seção que as cargas do caso 2.c; como suas intensidades são iguais, o momento é \(M^{(2.b)}_{S_x}=M^{(2.c)}_{S_x}=P_m(L-x_c)(2x_c-d)/L\), sem necessidade de repetir a dedução.
3.3 Caso 2.c - A posição \(z_3\) da carga \(P_3\) coincide com a posição \(x_c\) da seção
Neste caso, tem-se:
\[\begin{equation} s=x_c-2d,\quad z_1(s)=s=x_c-2d<0,\quad z_2(s)=s+d=x_c-d,\quad z_3(s)=s+2d=x_c \end{equation}\]
Como a carga \(P_1\) está fora da viga, a ordenada correspondente da linha de influência é nula (ou seja, \(M_I^{(2.c)}(z_1) = 0\)), de modo que sua contribuição para o momento fletor na seção \(x_c\) também é nula:
Assim, os valores das ordenadas das linhas de influência para cada posição das cargas são:
\[\begin{equation} \begin{aligned} M_I^{(2.c)}(z_1) &= 0, \\ M_I^{(2.c)}(z_2) &= \dfrac{z_2(L-x_c)}{L} = \dfrac{(x_c-d)(L-x_c)}{L},\\ M_I^{(2.c)}(z_3) &= M_I^{(1.c)}(z_3) = \dfrac{x_c(L-z_3)}{L} = \dfrac{x_c(L-x_c)}{L} \end{aligned} \end{equation}\]
De modo que:
\[\begin{equation} \begin{aligned} M^{(2.c)}_{S_x} &= P_m [ M_I^{(2.c)}(z_1) + M_I^{(2.c)}(z_2) + M_I^{(2.c)}(z_3) ]\\ &= \dfrac{P_m}{L} \{ 0 + (x_c-d)(L-x_c) + x_c(L-x_c) \}\\ &= \dfrac{P_m(L-x_c)}{L}(2x_c-d) \end{aligned} \end{equation}\]
3.4 Caso 2.d - A carga \(P_2\) coincide com a seção, com \(P_3\) no vão
Aqui, \(z_1=x_c-d<0\), \(z_2=x_c\) e \(z_3=x_c+d\). As duas cargas atuantes ocupam as mesmas posições relativas à seção que as cargas do caso 2.a; portanto, \(M^{(2.d)}_{S_x}=M^{(2.a)}_{S_x}=P_m x_c(2L-2x_c-d)/L\).
4 Cenário 3 - As três cargas estão sobre a viga
No cenário 3 as três cargas estão sobre a viga, ou seja, \(0 \le z_i(s) \le L\) para \(i \in \{1,2,3\}\). Neste cenário, deve-se considerar três casos distintos de posicionamento das cargas em relação à seção fixa \(S_x\), quais sejam:
Caso 3.a – a posição \(z_1\) da carga \(P_1\) coincide com a posição \(x_c\) da seção fixa, e as demais cargas estão à direita da seção fixa;
Caso 3.b – a posição \(z_2\) da carga \(P_2\) coincide com a posição \(x_c\) da seção fixa, e as demais cargas estão uma à esquerda e outra à direita da seção fixa;
Caso 3.c – a posição \(z_3\) da carga \(P_3\) coincide com a posição \(x_c\) da seção fixa, e as demais cargas estão à esquerda da seção fixa.
Individualmente, o caso 3.a exige \(x_c+2d\le L\); o caso 3.b exige \(d\le x_c\le L-d\); e o caso 3.c exige \(x_c\ge 2d\). Para que os três casos sejam admissíveis na mesma seção, é necessário \(2d\le x_c\le L-2d\), o que implica \(L\ge4d\). Essa última condição não é necessária para que apenas um dos casos ocorra.
4.1 Caso 3.a - A posição \(z_1\) da carga \(P_1\) coincide com a posição \(x_c\) da seção
Neste caso, tem-se:
\[\begin{equation} z_1(s) = s = x_c, \quad z_2(s) = s + d = x_c + d, \quad z_3(s) = s + 2d = x_c + 2d \end{equation}\]
Os valores das ordenadas das linhas de influência para cada posição das cargas são:
\[\begin{equation} \begin{aligned} M_I^{(3.a)}(z_1) &= M_I^{(2.a)}(z_1) = M_I^{(1.a)}(z_1) = \dfrac{x_c(L-z_1)}{L} = \dfrac{x_c(L-x_c)}{L}, \\ M_I^{(3.a)}(z_2) &= M_I^{(2.a)}(z_2) = \dfrac{x_c(L-z_2)}{L} = \dfrac{x_c[L-(x_c+d)]}{L},\\ M_I^{(3.a)}(z_3) &= \dfrac{x_c(L-z_3)}{L} = \dfrac{x_c[L-(x_c+2d)]}{L} \end{aligned} \end{equation}\]
De modo que:
\[\begin{equation} \begin{aligned} M^{(3.a)}_{S_x} &= P_m [ M_I^{(3.a)}(z_1) + M_I^{(3.a)}(z_2) + M_I^{(3.a)}(z_3)]\\ &= \dfrac{P_m x_c}{L} \{ (L-x_c) + [L-(x_c+d)] + [L-(x_c+2d)] \}\\ &= \dfrac{3P_m x_c}{L}(L-x_c-d) \end{aligned} \end{equation}\]
4.2 Caso 3.b - A posição \(z_2\) da carga \(P_2\) coincide com a posição \(x_c\) da seção
Neste caso, tem-se:
\[\begin{equation} s=x_c-d,\quad z_1(s)=s=x_c-d,\quad z_2(s)=s+d=x_c,\quad z_3(s)=s+2d=x_c+d \end{equation}\]
Os valores das ordenadas das linhas de influência para cada posição das cargas são:
\[\begin{equation} \begin{aligned} M_I^{(3.b)}(z_1) &= \dfrac{z_1(L-x_c)}{L} = \dfrac{(x_c-d)(L-x_c)}{L}, \\ M_I^{(3.b)}(z_2) &= \dfrac{x_c(L-z_2)}{L} = \dfrac{x_c(L-x_c)}{L},\\ M_I^{(3.b)}(z_3) &= \dfrac{x_c(L-z_3)}{L} = \dfrac{x_c[L-(x_c+d)]}{L} \end{aligned} \end{equation}\]
De modo que:
\[\begin{equation} \begin{aligned} M^{(3.b)}_{S_x} &= P_m [ M_I^{(3.b)}(z_1) + M_I^{(3.b)}(z_2) + M_I^{(3.b)}(z_3)]\\ &= \dfrac{P_m}{L} [ (x_c-d)(L-x_c) + x_c(L-x_c) + x_c[L-(x_c+d)] ]\\ &= \dfrac{P_m}{L} [ (x_c-d)(L-x_c) + x_c(L-x_c) + x_c(L-x_c) - x_c d] \\ &= \dfrac{P_m}{L} [ (3x_c-d)(L-x_c) - x_c d]\\ &= \dfrac{P_m}{L} [3x_c(L-x_c)-dL] \end{aligned} \end{equation}\]
4.3 Caso 3.c - A posição \(z_3\) da carga \(P_3\) coincide com a posição \(x_c\) da seção
Neste caso, tem-se:
\[\begin{equation} s=x_c-2d,\quad z_1(s)=s=x_c-2d,\quad z_2(s)=s+d=x_c-d,\quad z_3(s)=s+2d=x_c \end{equation}\]
Os valores das ordenadas das linhas de influência para cada posição das cargas são:
\[\begin{equation} \begin{aligned} M_I^{(3.c)}(z_1) &= \dfrac{z_1(L-x_c)}{L} = \dfrac{(x_c-2d)(L-x_c)}{L}, \\ M_I^{(3.c)}(z_2) &= M_I^{(2.c)}(z_2) = \dfrac{z_2(L-x_c)}{L} = \dfrac{(x_c-d)(L-x_c)}{L},\\ M_I^{(3.c)}(z_3) &= M_I^{(2.c)}(z_3) = M_I^{(1.c)}(z_3) = \dfrac{x_c(L-z_3)}{L} = \dfrac{x_c(L-x_c)}{L} \end{aligned} \end{equation}\]
De modo que:
\[\begin{equation} \begin{aligned} M^{(3.c)}_{S_x} &= P_m [ M_I^{(3.c)}(z_1) + M_I^{(3.c)}(z_2) + M_I^{(3.c)}(z_3) ]\\ &= \dfrac{P_m(L-x_c)}{L} [(x_c-2d)+(x_c-d)+x_c]\\ &= \dfrac{3P_m(L-x_c)}{L}(x_c-d) \end{aligned} \end{equation}\]
5 Seleção do momento fletor máximo na seção fixa
Considerando a passagem completa do veículo, a posição de referência varia de \(-2d\) a \(L\). As três posições candidatas são \(s=x_c\), \(s=x_c-d\) e \(s=x_c-2d\). Usando a linha de influência estendida por zero fora do vão, definem-se:
\[\begin{equation} \begin{aligned} M_a &= P_m[M_I(x_c)+M_I(x_c+d)+M_I(x_c+2d)],\\ M_b &= P_m[M_I(x_c-d)+M_I(x_c)+M_I(x_c+d)],\\ M_c &= P_m[M_I(x_c-2d)+M_I(x_c-d)+M_I(x_c)]. \end{aligned} \end{equation}\]
O resultado é:
\[\begin{equation} \boxed{M_{\max}(x_c)=\max\{M_a,M_b,M_c\}.} \end{equation}\]
Essas expressões também abrangem os casos em que \(P_2\) está na seção e apenas uma ou nenhuma das cargas vizinhas está sobre a viga. Portanto, não é necessário impor \(L\ge4d\), nem descartar as fases de entrada e saída do veículo. Nas fronteiras entre casos, uma carga exatamente sobre o apoio ainda está em \([0,L]\), mas sua ordenada é nula. Para cargas ou espaçamentos diferentes, aplica-se a mesma soma ponderada nas posições candidatas \(s=x_c\), \(s=x_c-d_{1,2}\) e \(s=x_c-d_{1,2}-d_{2,3}\).
Por exemplo, para \(L=20\,\mathrm{m}\), \(x_c=8\,\mathrm{m}\), \(d=4\,\mathrm{m}\) e \(P_m=100\,\mathrm{kN}\), obtêm-se \(M_a=960\,\mathrm{kN\,m}\), \(M_b=1040\,\mathrm{kN\,m}\) e \(M_c=720\,\mathrm{kN\,m}\). Assim, \(M_{\max}(8\,\mathrm{m})=1040\,\mathrm{kN\,m}\), com \(P_2\) sobre a seção e \(s=4\,\mathrm{m}\).
Na seção de um apoio, \(x_c=0\) ou \(x_c=L\), todas as ordenadas são nulas e o momento máximo é zero. A seção permanece fixa durante toda a análise: não se busca aqui o máximo absoluto entre todas as seções da viga.