Esta página mostra como calcular os valores máximo e mínimo do esforço cortante que atuam em uma seção fixa de uma viga biapoiada sujeita a três cargas concentradas móveis que representam os eixos de um veículo. Como a linha de influência do cortante possui um trecho negativo e um trecho positivo, é necessário procurar tanto o maior valor quanto o menor valor durante a passagem completa do veículo.
Primeiro, calcula-se a resposta algébrica à passagem do veículo completo, mantendo todas as cargas. Ao final, apresenta-se separadamente o critério de envoltória com contribuições de mesmo sinal, sem compensação pelas parcelas favoráveis, quando essa seleção é admitida pelo modelo normativo de carregamento.
1 Esforço cortante para uma posição qualquer do veículo
Considere a viga biapoiada de vão \(L\) sujeita a três cargas concentradas móveis verticais para baixo \(P_1\), \(P_2\) e \(P_3\), que se deslocam juntas sem mudar os espaçamentos intermediários positivos \(d_{1,2}\) e \(d_{2,3}\). Adota-se uma posição \(s\) como referência para o posicionamento do veículo. A posição da primeira carga coincide com \(s\), de modo que:
\[\begin{equation} z_1(s)=s,\qquad z_2(s)=s+d_{1,2},\qquad z_3(s)=s+d_{1,2}+d_{2,3}. \end{equation}\]
Define-se também \(d_{1,3}=d_{1,2}+d_{2,3}\), portanto \(z_3(s)=s+d_{1,3}\).
Adotando cortante igual à reação esquerda menos as cargas à esquerda da seção, a linha de influência do esforço cortante em uma seção \(S_x\), localizada na posição fixa \(x_c\), é:
\[\begin{equation} V_I(z)= \begin{cases} -\dfrac{z}{L}, & 0\le z<x_c,\\[5pt] \dfrac{L-z}{L}, & x_c<z\le L,\\[5pt] 0, & z\notin[0,L]. \end{cases} \label{eq:shear-influence-line} \end{equation}\]
Em \(z=x_c\) existe uma descontinuidade. Por isso, devem ser considerados os dois limites:
\[\begin{equation} V_I(x_c^-)= -\dfrac{x_c}{L}, \qquad V_I(x_c^+)=\dfrac{L-x_c}{L}. \label{eq:shear-influence-jump} \end{equation}\]
O esforço cortante para uma posição qualquer do veículo é obtido pela soma dos produtos entre as magnitudes das cargas e as ordenadas da linha de influência:
\[\begin{equation} V(s)=P_1V_I\bigl(z_1(s)\bigr)+P_2V_I\bigl(z_2(s)\bigr) +P_3V_I\bigl(z_3(s)\bigr). \label{eq:general-shear} \end{equation}\]
A figura 2 ilustra essa soma para \(L=20\,\mathrm{m}\), \(x_c=8\,\mathrm{m}\), \(d_{1,2}=5\,\mathrm{m}\), \(d_{2,3}=4\,\mathrm{m}\), \(P_1=60\,\mathrm{kN}\) e \(P_2=P_3=100\,\mathrm{kN}\), os mesmos dados do exemplo numérico adiante. As curvas tracejada, traço-ponto e pontilhada representam \(P_jV_I(z_j(s))\), e a curva preta contínua representa \(V(s)\). Para uma mesma abscissa \(s\), somam-se algebricamente as três ordenadas, preservando as parcelas positivas e negativas. Ao atravessar a seção, cada carga produz um salto de magnitude \(P_j\), nas posições \(s=8\), \(3\) e \(-1\,\mathrm{m}\), respectivamente. Os círculos abertos indicam os dois limites laterais, sem ligar os saltos por segmentos inclinados. Em \(s=3\,\mathrm{m}\), por exemplo, \(V\) passa de \(-9\) para \(91\,\mathrm{kN}\); em \(s=-1\,\mathrm{m}\), passa de \(-60\) para \(40\,\mathrm{kN}\). Valores positivos são desenhados para cima e negativos para baixo. Essa é a resposta do veículo completo, não a envoltória sem compensação de parcelas favoráveis discutida ao final.
As cargas posicionadas fora do vão não contribuem para o esforço cortante, pois a ordenada correspondente é nula.
2 Por que é necessário calcular o máximo e o mínimo
Ao contrário da linha de influência do momento fletor, que é contínua no interior do vão, a linha de influência do esforço cortante apresenta um salto na seção fixa. Além disso, ela é negativa à esquerda da seção e positiva à direita. Assim, diferentes cargas podem produzir parcelas com sinais opostos na soma da equação (4).
O valor máximo é o maior esforço cortante obtido durante o movimento:
\[\begin{equation} V_{\max}(x_c)=\max_s V(s), \end{equation}\]
enquanto o valor mínimo é o menor:
\[\begin{equation} V_{\min}(x_c)=\min_s V(s). \end{equation}\]
Não se deve procurar somente o maior valor em módulo sem antes identificar o sinal. O esforço cortante de projeto pode ser governado por \(V_{\max}\) ou por \(V_{\min}\), conforme a combinação de cargas e a convenção adotada.
3 Posições críticas das cargas
Fora da seção \(x_c\), a linha de influência é linear por trechos. Consequentemente, enquanto nenhuma carga atravessa a seção, \(V(s)\) também é linear por trechos e seus extremos ocorrem nos vértices da poligonal. Para a passagem de um veículo, os vértices relevantes ocorrem quando uma das cargas coincide com a seção.
Como há um salto em \(x_c\), cada alinhamento deve ser avaliado em dois lados:
imediatamente antes de a carga coincidir com a seção, denotado por \(x_c^-\);
imediatamente depois de a carga coincidir com a seção, denotado por \(x_c^+\).
Para três cargas, há seis candidatos: cada uma das três cargas sobre a seção, pelo lado esquerdo e pelo lado direito. A posição exata \(z_i=x_c\) não precisa ser usada na soma, pois a ordenada da linha de influência é descontínua nesse ponto; os limites laterais representam os valores físicos relevantes.
As três figuras seguintes correspondem aos casos a, b e c do texto de momento fletor, com todas as cargas no vão. Em cada figura, o alinhamento é geométrico: as ordenadas \(V_I(x_c^-)\) e \(V_I(x_c^+)\) representam duas avaliações distintas, e não duas parcelas simultâneas da mesma carga.
3.1 Carga \(P_1\) atravessando a seção
Quando a carga \(P_1\) está imediatamente à esquerda da seção, as posições das cargas são:
\[\begin{equation} z_1=x_c^-,\qquad z_2=x_c+d_{1,2},\qquad z_3=x_c+d_{1,3}. \end{equation}\]
O candidato correspondente é:
\[\begin{equation} V_{1^-}=P_1V_I(x_c^-) +P_2V_I(x_c+d_{1,2}) +P_3V_I(x_c+d_{1,3}). \end{equation}\]
Quando \(P_1\) está imediatamente à direita da seção:
\[\begin{equation} z_1=x_c^+,\qquad z_2=x_c+d_{1,2},\qquad z_3=x_c+d_{1,3}, \end{equation}\]
\[\begin{equation} V_{1^+}=P_1V_I(x_c^+) +P_2V_I(x_c+d_{1,2}) +P_3V_I(x_c+d_{1,3}). \end{equation}\]
3.2 Carga \(P_2\) atravessando a seção
Para \(P_2\) imediatamente à esquerda ou à direita da seção, as posições são:
\[\begin{equation} z_1=x_c-d_{1,2},\qquad z_2=x_c^\mp,\qquad z_3=x_c+d_{2,3}. \end{equation}\]
Logo, os dois candidatos são:
\[\begin{equation} \begin{aligned} V_{2^-}&=P_1V_I(x_c-d_{1,2}) +P_2V_I(x_c^-)+P_3V_I(x_c+d_{2,3}),\\ V_{2^+}&=P_1V_I(x_c-d_{1,2}) +P_2V_I(x_c^+)+P_3V_I(x_c+d_{2,3}). \end{aligned} \end{equation}\]
3.3 Carga \(P_3\) atravessando a seção
Finalmente, quando \(P_3\) atravessa a seção:
\[\begin{equation} z_1=x_c-d_{1,3},\qquad z_2=x_c-d_{2,3},\qquad z_3=x_c^\mp. \end{equation}\]
Os candidatos são:
\[\begin{equation} \begin{aligned} V_{3^-}&=P_1V_I(x_c-d_{1,3}) +P_2V_I(x_c-d_{2,3})+P_3V_I(x_c^-),\\ V_{3^+}&=P_1V_I(x_c-d_{1,3}) +P_2V_I(x_c-d_{2,3})+P_3V_I(x_c^+). \end{aligned} \end{equation}\]
4 Posicionamentos críticos quando uma ou mais cargas estão fora do vão
Os seis alinhamentos candidatos continuam válidos quando uma ou mais cargas estão fora da viga. Nesses casos, a ordenada correspondente da linha de influência é nula, isto é, \(V_I(z_j)=0\) para toda carga com \(z_j<0\) ou \(z_j>L\). Não é necessário deduzir novas expressões: basta manter as posições das três cargas e avaliar a função definida na equação (2).
A figura 6 mostra uma configuração em que somente \(P_3\) está no vão. As contribuições de \(P_1\) e \(P_2\) são nulas:
Na figura 7, a carga \(P_1\) está fora do vão à esquerda, enquanto \(P_2\) e \(P_3\) permanecem sobre a viga:
Por fim, a figura 8 mostra uma configuração em que somente \(P_1\) está no vão:
5 Determinação geral do máximo e do mínimo
As seis avaliações anteriores permanecem válidas quando uma ou mais cargas estão fora do vão: basta usar \(V_I(z)=0\) para essas cargas. Portanto, o procedimento geral é calcular:
\[\begin{equation} \mathcal{V}= \left\{V_{1^-},V_{1^+},V_{2^-},V_{2^+},V_{3^-},V_{3^+}\right\}. \end{equation}\]
O maior e o menor esforço cortante na seção fixa são:
\[\begin{equation} \boxed{V_{\max}(x_c)=\max\mathcal{V}}, \qquad \boxed{V_{\min}(x_c)=\min\mathcal{V}}. \label{eq:max-min-shear} \end{equation}\]
A figura 9 mantém o vão, as cargas e os espaçamentos da figura de superposição, mas varia a posição da seção \(x_c\). Para cada carga alinhada à seção, são mostrados os dois candidatos \(V_{j^-}(x_c)\) e \(V_{j^+}(x_c)\): linhas tracejadas para \(j=1\), traço-ponto para \(j=2\) e pontilhadas para \(j=3\). As duas curvas pretas contínuas espessas representam \(V_{\max}(x_c)\) e \(V_{\min}(x_c)\), obtidas escolhendo, para cada abscissa, a maior e a menor das seis ordenadas, sem somá-las. Cada abscissa corresponde a uma análise independente da passagem completa do veículo em uma seção fixa. Ao contrário dos candidatos de momento fletor, os candidatos de cortante são lineares por trechos em \(x_c\), de modo que basta calcular os pontos de entrada e saída de cargas e as interseções entre candidatos, sem uma discretização densa. Em \(x_c=8\,\mathrm{m}\), as envoltórias fornecem \(91\,\mathrm{kN}\) e \(-60\,\mathrm{kN}\). Nas extremidades do gráfico, os valores representam os limites de seções internas \(x_c\to0^+\) e \(x_c\to L^-\), e não uma definição única do cortante sobre o apoio.
O valor máximo em módulo pode ser informado separadamente, se necessário:
\[\begin{equation} |V|_{\max}(x_c)= \max\left\{\,|V_{\max}(x_c)|,\;|V_{\min}(x_c)|\,\right\}. \end{equation}\]
6 Exemplo numérico
Considere \(L=20\,\mathrm{m}\), \(x_c=8\,\mathrm{m}\), \(d_{1,2}=5\,\mathrm{m}\), \(d_{2,3}=4\,\mathrm{m}\), \(P_1=60\,\mathrm{kN}\), \(P_2=P_3=100\,\mathrm{kN}\). Nesse caso:
\[\begin{equation} V_I(x_c^-)=-\frac{8}{20}=-0.4, \qquad V_I(x_c^+)=\frac{12}{20}=0.6. \end{equation}\]
Substituindo as posições dos eixos na equação (2), obtêm-se os seis candidatos:
\[\begin{equation} \begin{array}{c|rrrrrr} & V_{1^-} & V_{1^+} & V_{2^-} & V_{2^+} & V_{3^-} & V_{3^+}\\ \hline V\;(\mathrm{kN})& 26&86&-9&91&-60&40 \end{array} \end{equation}\]
Assim:
\[\begin{equation} \boxed{V_{\max}=91\,\mathrm{kN}}, \qquad \boxed{V_{\min}=-60\,\mathrm{kN}}. \end{equation}\]
O maior valor em módulo é \(|V|_{\max}=91\,\mathrm{kN}\), correspondente ao máximo algébrico. Esse exemplo evidencia por que os dois extremos devem ser calculados quando a linha de influência possui trechos com sinais diferentes: o caso governante pode mudar conforme as intensidades e os espaçamentos das cargas.
Nas seções dos apoios, a análise deve ser feita de acordo com a convenção de cortante e com o lado da seção considerado. Para uma seção interna \(0<x_c<L\), o procedimento acima considera diretamente o salto e as contribuições das cargas que estejam fora do vão.
7 Envoltória com contribuições de mesmo sinal
7.1 Distinção entre a passagem do veículo e o critério de envoltória
Até aqui, \(V(s)\) é a resposta à passagem do veículo completo. Uma carga no trecho negativo reduz a resposta produzida pelas cargas no trecho positivo, e vice-versa. Essa compensação é correta para a resposta física daquele veículo naquela posição, mas não representa o critério de envoltória sem parcelas favoráveis adotado nesta seção.
Na elaboração de envoltórias para pontes, quando o modelo da norma aplicável determina a seleção das parcelas desfavoráveis, devem-se considerar somente contribuições de mesmo sinal: positivas para procurar o máximo e negativas para procurar o mínimo. Duas cargas de um lado da seção podem, portanto, produzir uma solicitação de envoltória mais crítica do que a soma dessas duas cargas com uma terceira no trecho de sinal oposto.
Essa seleção deve respeitar as regras da norma, sua edição e as ações ou grupos de cargas por ela definidos. Não se trata de uma autorização geral para retirar eixos de um veículo real nem para selecionar isoladamente parcelas de qualquer ação permanente. As expressões seguintes formalizam o critério solicitado para as três cargas móveis, admitindo que suas contribuições favoráveis possam ser desconsideradas. Os coeficientes e as combinações normativas devem ser aplicados conforme o caso de projeto.
7.2 Separação das contribuições positivas e negativas
Para \(P_i>0\), definem-se duas funções a partir das ordenadas assinadas da linha de influência:
\[\begin{equation} V_I^{(+)}(z)=\max\{V_I(z),0\}, \qquad V_I^{(-)}(z)=\min\{V_I(z),0\}. \end{equation}\]
O índice entre parênteses indica a seleção por sinal, não o lado do salto. Por exemplo:
\[\begin{equation} \begin{aligned} V_I^{(+)}(x_c^-)&=0, & V_I^{(+)}(x_c^+)&=\frac{L-x_c}{L},\\ V_I^{(-)}(x_c^-)&=-\frac{x_c}{L}, & V_I^{(-)}(x_c^+)&=0. \end{aligned} \end{equation}\]
Assim, para cada posição do veículo, calculam-se separadamente:
\[\begin{equation} \begin{aligned} V^{(+)}(s)&=\sum_{i=1}^{3}P_iV_I^{(+)}\bigl(z_i(s)\bigr),\\ V^{(-)}(s)&=\sum_{i=1}^{3}P_iV_I^{(-)}\bigl(z_i(s)\bigr). \end{aligned} \label{eq:shear-sign-selection} \end{equation}\]
Na primeira soma, uma carga no trecho negativo não contribui. Na segunda, uma carga no trecho positivo não contribui. Cargas fora do vão continuam com contribuição nula em ambas. Os espaçamentos originais são preservados: a seleção elimina contribuições favoráveis, mas não aproxima nem reposiciona independentemente os eixos restantes.
A resposta do veículo completo satisfaz \(V(s)=V^{(+)}(s)+V^{(-)}(s)\). Entretanto, para a envoltória aqui considerada, essas duas parcelas não devem ser somadas antes da busca dos extremos.
7.3 Posições críticas e extremos da envoltória
Adotando \(a_1=0\), \(a_2=d_{1,2}\) e \(a_3=d_{1,3}\), os alinhamentos já apresentados são \(s_k=x_c-a_k\), para \(k=1,2,3\). Em cada um deles, avaliam-se os dois limites laterais da soma inteira:
\[\begin{equation} C_{k,\pm}^{(+)}=\lim_{s\to s_k^\pm}V^{(+)}(s), \qquad C_{k,\pm}^{(-)}=\lim_{s\to s_k^\pm}V^{(-)}(s). \end{equation}\]
Os extremos da envoltória sem compensação são:
\[\begin{equation} \boxed{V_{\max,\mathrm{env}}(x_c)= \max\left(\{0\}\cup\{C_{k,\pm}^{(+)}:k=1,2,3\}\right)}, \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boxed{V_{\min,\mathrm{env}}(x_c)= \min\left(\{0\}\cup\{C_{k,\pm}^{(-)}:k=1,2,3\}\right)}. \label{eq:shear-envelope-extremes} \end{equation}\]
O zero representa a ausência de contribuição. Para esta viga biapoiada, com cargas positivas e passagem completa, os trechos não nulos das duas funções selecionadas têm inclinação negativa. Os apoios não introduzem saltos de ordenada. Assim, os alinhamentos com a seção continuam suficientes: para o máximo positivo basta comparar os três limites \(s_k^+\); para o mínimo negativo, os três limites \(s_k^-\). A avaliação dos seis lados permanece válida e mantém o procedimento anterior.
Nas figuras dos casos a, b e c, os dois lados do salto tornam essa seleção explícita. Por exemplo, no caso b, com \(P_2\) imediatamente à direita da seção, \(P_2\) e \(P_3\) podem contribuir para o máximo, mas a contribuição negativa de \(P_1\) é desconsiderada. Com \(P_2\) imediatamente à esquerda, \(P_1\) e \(P_2\) podem contribuir para o mínimo, sem a compensação positiva de \(P_3\). A mesma regra vale para as figuras com cargas fora do vão.
7.4 Comparação no exemplo numérico
Mantendo os mesmos dados e alinhamentos do exemplo anterior, obtêm-se:
\[\begin{equation} \begin{array}{c|rrrrrr} & 1^- & 1^+ & 2^- & 2^+ & 3^- & 3^+\\ \hline V^{(+)}\;(\mathrm{kN}) & 50 & 86 & 40 & 100 & 0 & 60\\ V^{(-)}\;(\mathrm{kN}) & -24 & 0 & -49 & -9 & -60 & -20\\ V\;(\mathrm{kN}) & 26 & 86 & -9 & 91 & -60 & 40 \end{array} \end{equation}\]
No alinhamento \(2^+\), as posições são \(z_1=3\,\mathrm{m}\), \(z_2=8^+\,\mathrm{m}\) e \(z_3=12\,\mathrm{m}\). As contribuições são \(-9\,\mathrm{kN}\), \(60\,\mathrm{kN}\) e \(40\,\mathrm{kN}\). A resposta do veículo completo é \(91\,\mathrm{kN}\), mas o máximo da envoltória sem compensação é \(60+40=100\,\mathrm{kN}\), pois a parcela favorável \(-9\,\mathrm{kN}\) não é considerada.
Portanto:
\[\begin{equation} \boxed{V_{\max,\mathrm{env}}=100\,\mathrm{kN}}, \qquad \boxed{V_{\min,\mathrm{env}}=-60\,\mathrm{kN}}. \end{equation}\]
Neste exemplo, o mínimo não muda, porque seu alinhamento crítico já não possui contribuição positiva. Em geral:
\[\begin{equation} V_{\max,\mathrm{env}}\ge V_{\max}, \qquad V_{\min,\mathrm{env}}\le V_{\min}. \end{equation}\]
Esses resultados distinguem a resposta algébrica do veículo completo da envoltória obtida pela seleção de contribuições de mesmo sinal, evitando que parcelas favoráveis reduzam os extremos quando essa redução não é admitida pelo critério de carregamento adotado.