Cet article propose une introduction à l’analyse des structures, en abordant ses objectifs, ses méthodologies ainsi que les types de réponses et d’actions considérés. Il traite de la modélisation numérique, en distinguant la structure réelle du modèle idéalisé utilisé dans l’analyse. Il présente également les différents types d’éléments structuraux et de systèmes structuraux. L’accent est mis sur les structures à ossature (structures constituées de poteaux, de poutres et de barres en général, telles que les treillis, les portiques et les grillages de poutres). Enfin, il présente les principales théories des poutres : la théorie d’Euler–Bernoulli et celle de Timoshenko.
1 Objectif de l’analyse des structures
L’analyse des structures a pour objectif de déterminer les réponses (résultats) d’une structure aux actions auxquelles elle est soumise. Ces réponses permettent de comprendre son comportement et fournissent les informations nécessaires aux vérifications de sécurité et de performance.
Les réponses les plus couramment recherchées en analyse des structures sont :
les réactions d’appui (forces et moments) ;
les efforts internes (effort normal, effort tranchant, moment fléchissant et moment de torsion) ;
les contraintes normales et tangentielles ;
les déplacements en translation et les rotations ;
les déformations normales et les distorsions de cisaillement.
Les actions les plus couramment considérées proviennent de charges telles que le poids propre de la structure, les charges d’exploitation et les forces dues au vent. Elles peuvent également résulter de variations de température, du retrait du béton, de tassements d’appui et de mouvements du sol, notamment ceux provoqués par les séismes.
De manière générale, cet objectif—déterminer les réponses d’une structure à un ensemble d’actions—peut être atteint par deux grandes approches :
l’approche empirique de l’analyse expérimentale ;
l’approche rationnelle de l’analyse théorique.
Dans l’analyse expérimentale, les réponses sont mesurées sur la structure réelle ou sur un modèle physique en laboratoire. Les jauges de déformation, les capteurs de déplacement, les cellules de charge et les accéléromètres sont des exemples d’instruments utilisés pour mesurer les déformations, les déplacements, les forces et les accélérations. Les résultats peuvent également servir à évaluer et à calibrer les modèles théoriques.
Dans l’analyse théorique, on formule et résout des équations représentant de manière approchée le comportement d’un modèle de la structure. De manière générale, les méthodes théoriques peuvent être classées en méthodes analytiques et numériques.
Dans les méthodes analytiques, les équations qui régissent le problème sont établies à partir d’hypothèses simplificatrices et résolues analytiquement, ce qui fournit des solutions exactes sous forme fermée (c’est-à-dire sans approximation dans la résolution). Toutefois, une solution analytique dite exacte est en réalité la solution exacte d’un problème mathématique qui représente approximativement le problème réel. En analyse des structures, seuls des problèmes très simples, dont la géométrie, le chargement et les conditions d’appui sont également simples, peuvent être résolus analytiquement. Les solutions analytiques sont exprimées sous forme littérale.
Dans les méthodes numériques, les équations qui régissent le problème sont établies à partir d’hypothèses simplificatrices généralement plus réalistes que celles des méthodes analytiques, puis résolues de manière approchée à l’aide d’un ordinateur. Les solutions sont exprimées par des nombres.
Cet article porte plus particulièrement sur l’analyse théorique des structures.
2 Modélisation des structures
Il importe de souligner que, malgré l’expression « analyse d’une structure », l’analyse théorique porte en réalité sur une idéalisation mathématique de la structure réelle. Au lieu d’étudier la structure exactement telle qu’elle existe ou existera, on analyse un modèle simplifié, construit à partir d’hypothèses destinées à réduire la complexité du problème réel. Cette représentation est généralement appelée modèle structural. À titre d’exemple, la Figure 1 montre le pont ferroviaire sur le fleuve Mearim, situé sur la voie ferrée de Carajás. La Figure 2 présente le modèle structural utilisé pour son analyse par ordinateur. La comparaison illustre la représentation de la structure réelle par l’idéalisation de sa géométrie, de ses liaisons et de ses conditions d’appui.
La construction du modèle est l’une des étapes les plus importantes de l’analyse. Une même structure peut nécessiter plusieurs modèles : l’un pour évaluer son comportement global, par exemple, et un autre pour étudier les contraintes dans un assemblage. Un modèle plus détaillé n’est pas automatiquement meilleur ; il doit être adapté aux résultats recherchés et aux données disponibles.
Parmi les idéalisations fréquemment adoptées figurent :
Géométrie idéalisée sans imperfections – lignes parfaitement droites, faces planes, éléments verticaux sans défaut d’aplomb, sections transversales constantes, etc. ;
Matériau homogène – matériau possédant les mêmes propriétés en différents points de l’espace ;
Matériau isotrope – matériau possédant les mêmes propriétés dans différentes directions ;
Matériau élastique linéaire – matériau obéissant à la loi de Hooke, avec des contraintes proportionnelles aux déformations, sans limite de résistance ni déformations résiduelles après déchargement. Ce modèle ne décrit ni la plastification, ni la fissuration, ni la rupture et doit être employé dans son domaine de validité ;
Chargement simplifié – charges uniformément réparties, parfaitement trapézoïdales, concentrées ou indépendantes du temps, etc. ;
Conditions d’appui idéalisées – blocage parfait de certains déplacements et rotations selon le type d’appui (par exemple, appuis simples, articulations ou encastrements parfaits, sans tassement) ;
Liaisons idéalisées – nœuds considérés comme parfaitement articulés ou rigides, comme dans les modèles usuels de treillis et de portiques, respectivement.
Face aux nombreuses hypothèses simplificatrices possibles, la qualité du modèle dépend fortement des connaissances et de l’expérience de l’ingénieur chargé de l’analyse, ainsi que de la disponibilité et de la qualité des données. Lorsque l’analyse est effectuée à l’aide d’un logiciel, le réalisme du modèle est également limité par les possibilités de ce logiciel. Par exemple, si celui-ci se limite aux structures à comportement élastique linéaire, il ne permet pas de prendre en compte la résistance du matériau dans l’analyse.
3 Types courants d’éléments structuraux
Les structures sont généralement constituées de parties plus petites appelées éléments structuraux.
Bien que tous les éléments réels soient tridimensionnels, leur représentation peut être classée selon leurs dimensions prédominantes et le comportement à étudier :
Éléments unidimensionnels ou linéiques – une dimension, la longueur, est beaucoup plus grande que les deux dimensions de la section transversale. Ils sont également appelés éléments de barre. Les poutres, les poteaux et les pieux en sont des exemples. Leur axe peut être droit ou courbe, comme pour les poutres courbes dans un plan horizontal et les éléments en arc dans un plan vertical ;
Éléments bidimensionnels ou surfaciques – deux dimensions prédominent sur la troisième : l’épaisseur est beaucoup plus petite que les deux autres dimensions. Les dalles ou plaques, les membranes et les coques en sont des exemples. Ces éléments peuvent être plans ou courbes dans l’espace ;
Éléments tridimensionnels ou volumiques – ces éléments ne présentent généralement pas de dimension prédominante et ont une forme plus massive. Les massifs de fondation et les blocs de barrages-poids en sont des exemples.
4 Types courants de systèmes structuraux
L’association d’un ou de plusieurs types d’éléments structuraux forme des systèmes de différentes catégories. Parmi les plus courants figurent :
Structures à ossature ou réticulées – structures constituées d’éléments unidimensionnels, de type ligne ou barre, reliés en des points nodaux ou nœuds. Les barres peuvent être disposées le long d’un axe, dans un plan ou dans l’espace, formant respectivement des structures unidimensionnelles (poutres continues), bidimensionnelles (treillis et portiques plans, grillages de poutres) et tridimensionnelles (treillis et portiques spatiaux) ;
Structures surfaciques – structures constituées d’éléments de surface reliés par des arêtes communes. Les ouvrages de stockage (réservoirs d’eau, piscines, cuves et silos) et les couvertures en coque en sont des exemples ;
Structures volumiques ou massives – structures constituées d’éléments de volume reliés par des faces communes. Les barrages-poids et les semelles sur pieux en sont des exemples.
Il est courant d’associer différents types d’éléments structuraux dans un même modèle. Les bâtiments en béton armé en sont un exemple fréquent : les éléments de barre représentent les poutres, les poteaux et les pieux ; les éléments de plaque ou de coque, les dalles et les voiles ; les éléments de volume, les massifs de fondation ou le sol lui-même.
5 Types de structures réticulées
Les systèmes réticulés présentent un grand intérêt en raison de l’immense variété de structures qu’ils permettent de représenter. Cet article se concentre donc sur ce type de système structural. Les principaux types sont :
Poutre à une travée ou continue – système constitué d’éléments de barre disposés le long d’un même axe. Chaque élément représente habituellement une travée. Le chargement est généralement supposé agir dans le plan de la structure ; les efforts internes dans les sections sont alors l’effort normal, l’effort tranchant et le moment fléchissant. Dans l’analyse des poutres, il est courant de ne pas considérer les charges parallèles à l’axe, qui produisent un effort normal ;
Portique ou cadre plan – système de barres disposées dans un plan et reliées rigidement aux nœuds. Elles représentent les poteaux, verticaux, et les poutres, horizontales ou inclinées. Le chargement est généralement supposé agir dans le plan de la structure ; les efforts internes sont alors l’effort normal, l’effort tranchant et le moment fléchissant ;
Treillis plan – système de barres disposées dans un plan et reliées par des articulations parfaites. Les nœuds étant supposés parfaitement articulés, les barres doivent former des arrangements triangulaires pour que la structure soit stable. La stabilité dépend également de la géométrie, de la connectivité et des conditions d’appui. Les charges sont supposées agir dans le plan et uniquement aux nœuds : le poids propre des barres ne peut donc pas être directement appliqué le long de celles-ci. Sous ces hypothèses, les barres ne sont soumises qu’à un effort normal. Ce système est couramment utilisé pour les couvertures métalliques ou en bois et pour les ponts métalliques de grande portée ;
Grillage de poutres – système de barres disposées dans un plan et reliées rigidement aux nœuds. Elles représentent des poutres horizontales. Le chargement est généralement supposé agir perpendiculairement au plan ; les efforts internes sont alors l’effort tranchant, le moment fléchissant et le moment de torsion. Ce système permet notamment de représenter l’interaction entre poutres d’un même plan horizontal, comme dans un étage courant de bâtiment ;
Treillis spatial – système de barres disposées dans l’espace et reliées par des articulations. Les nœuds étant supposés parfaitement articulés, les barres doivent former des arrangements stables, tels que des tétraèdres ou les arêtes de pyramides, en étendant à l’espace le concept triangulaire du treillis plan. Ces arrangements sont des exemples de configurations utilisées, mais la stabilité doit être vérifiée pour l’ensemble, ses liaisons et ses appuis. Les charges sont supposées appliquées uniquement aux nœuds ; le poids propre n’est pas appliqué le long des barres. Sous ces hypothèses, celles-ci ne sont soumises qu’à un effort normal. Ce système est couramment utilisé pour les couvertures métalliques de grande portée ;
Portique spatial – système de barres disposées dans l’espace et généralement reliées rigidement aux nœuds. Elles représentent les poteaux, verticaux, et les poutres, horizontales ou inclinées. Les sections sont généralement soumises à un effort normal, à deux composantes d’effort tranchant, à un moment de torsion et à deux composantes de moment fléchissant.
6 Théories des poutres
Dans l’analyse des structures à ossature, il est courant d’adopter la théorie d’Euler–Bernoulli, fondée sur l’hypothèse simplificatrice selon laquelle les sections d’une barre restent planes et perpendiculaires à son axe après l’application des actions extérieures. Cette hypothèse conduit à négliger les déformations de cisaillement dans le calcul des déplacements. Cela ne signifie pas que l’effort tranchant soit nul.
L’importance de la déformation de cisaillement dépend principalement du rapport entre, par exemple, la portée d’une poutre et la hauteur de sa section transversale, dans le cas d’une section rectangulaire.
Une autre théorie des poutres, plus récente et plus précise, utilisée dans l’analyse des structures à ossature, est la théorie de Timoshenko. Elle suppose que les sections restent planes après déformation, mais pas nécessairement perpendiculaires à l’axe de la barre, en raison du cisaillement.
La théorie de Timoshenko est plus précise que celle d’Euler–Bernoulli parce qu’elle comporte une simplification de moins : la théorie d’Euler–Bernoulli ignore les déformations de cisaillement. Cette simplification peut entraîner des différences considérables entre les deux théories pour les poutres courtes, dont le rapport longueur/hauteur est inférieur à une valeur de l’ordre de 2 ou 3.
Certains logiciels d’analyse des structures plus élaborés, tels que SAP2000, emploient la théorie de Timoshenko pour les structures constituées de barres. Dans SAP2000, il est toutefois possible d’imposer indirectement la théorie de Bernoulli en annulant les déformations de cisaillement. Cet effet est obtenu en attribuant une aire de cisaillement infinie à la section.
Ces deux théories s’appliquent aux modèles de barre et ont leurs limites. Au voisinage des appuis, des charges concentrées ou des discontinuités géométriques, ainsi que dans les éléments courts, dont le rapport longueur/hauteur est faible, des modèles surfaciques ou volumiques peuvent être nécessaires pour étudier les effets locaux.