Cet article explique comment calculer le moment fléchissant maximal dans une section fixe d’une poutre simplement appuyée soumise à trois charges concentrées mobiles représentant les essieux d’un véhicule, à partir des ordonnées des lignes d’influence aux positions des charges.
1 Moment fléchissant pour une position quelconque du véhicule
Considérons une poutre simplement appuyée de portée \(L>0\), soumise à trois charges concentrées mobiles verticales dirigées vers le bas \(P_1\), \(P_2\) et \(P_3\), non négatives, qui se déplacent ensemble en conservant les espacements positifs \(d_{1,2}\) et \(d_{2,3}\). La position \(s\) sert de référence pour situer le véhicule. On suppose que la position \(z_1\) de la première charge coïncide avec \(s\), de sorte que \(z_1 = s\) ; les autres positions \(z_2\) et \(z_3\) sont alors déterminées par les espacements fixes entre les charges.
\[\begin{equation} z_1(s)=s,\qquad z_2(s)=s+d_{1,2},\qquad z_3(s)=s+d_{1,2}+d_{2,3} \end{equation}\]
Dans le cas particulier où les espacements entre les charges sont égaux, c’est-à-dire \(d_{1,2} = d_{2,3} = d\), les positions des charges en fonction de la position de référence \(s\) sont données par :
\[\begin{equation} z_1(s) = s, \qquad z_2(s) = s + d, \qquad z_3(s) = s + 2d \end{equation}\]
La ligne d’influence du moment fléchissant dans une section \(S_x\) de position fixe \(x_c\), pour une charge verticale unitaire située en \(z\), y compris lorsque cette charge se trouve hors de la portée de la poutre (\(z<0\) ou \(z>L\)), est définie par :
\[\begin{equation} M_I(z)= \begin{cases} \dfrac{z(L-x_c)}{L}, & 0\le z\le x_c,\\[6pt] \dfrac{x_c(L-z)}{L}, & x_c<z\le L,\\[6pt] 0, & z\notin[0,L] \end{cases} \end{equation}\]
Comme indiqué précédemment, le moment fléchissant dans une section fixe est la somme des produits de chaque charge par l’ordonnée de la ligne d’influence à la position de cette charge :
\[\begin{equation} M(s) = P_1 M_I\big(z_1(s)\big) + P_2 M_I\big(z_2(s)\big) + P_3 M_I\big(z_3(s)\big) \end{equation}\]
Dans le cas particulier où les trois charges ont la même intensité \(P_m\), soit \(P_1 = P_2 = P_3 = P_m\), le moment fléchissant dans la section fixe dû aux trois charges est :
\[\begin{equation} M(s) = P_m \big[ M_I\big(z_1(s)\big) + M_I\big(z_2(s)\big) + M_I\big(z_3(s)\big) \big] \end{equation}\]
On peut ainsi déterminer le moment fléchissant dans toute section fixe de la poutre pendant le déplacement des charges le long de la portée.
La recherche du moment fléchissant maximal exige cependant de déterminer les positions critiques des charges. Dans le cas des structures isostatiques, les lignes d’influence sont des fonctions affines par morceaux : leurs segments de droite forment une ligne polygonale. Comme la somme de fonctions affines par morceaux est elle aussi affine par morceaux, le moment fléchissant maximal est atteint à l’une des positions où une charge concentrée coïncide avec un sommet de cette ligne.
Pour le moment fléchissant d’une poutre simplement appuyée, la ligne d’influence présente deux segments de droite dans la portée, s’annule aux appuis et possède un sommet à la position \(x_c\) de la section fixe. Son prolongement nul hors de la portée introduit également des sommets aux appuis. Toutefois, pour des charges non négatives, l’entrée ou la sortie d’une charge produit un saut non négatif de la pente de \(M(s)\) et ne crée donc pas de maximum isolé. Ainsi, sur l’ensemble du passage du véhicule, au moins une position de maximum correspond à une charge située exactement sur la section fixe, soit \(z_i(s) = x_c\) pour un certain \(i \in \{1,2,3\}\). Un palier de valeurs maximales peut comprendre d’autres positions.
Même si le véhicule est représenté par trois charges mobiles et se déplace sur la poutre, il faut étudier non seulement la situation où les trois charges agissent simultanément sur la poutre, mais aussi celles où une ou deux charges seulement s’y trouvent. Les scénarios comportant des charges sur la poutre sont les suivants :
Scénario 1 – Une seule charge se trouve sur la poutre.
Scénario 2 – Deux charges se trouvent sur la poutre.
Scénario 3 – Les trois charges se trouvent sur la poutre.
Si \(L<d\), il existe également des intervalles sans aucune charge sur la poutre entre la sortie d’une charge et l’entrée de la suivante. Le moment y est nul, \(M(s)=0\) ; il n’est pas nécessaire de les ajouter à la comparaison des maxima. Les positions candidates illustrées ci-dessous correspondent à une charge située sur la section, et non à toutes les positions possibles du véhicule.
2 Scénario 1 – Une seule charge se trouve sur la poutre
Dans la suite, on considère des charges égales à \(P_m\) et des espacements égaux à \(d>0\), avec \(0\le x_c\le L\). Dans ce scénario, une seule charge se trouve sur la poutre. Si \(P_1\) est sur la section, il faut que \(x_c+d>L\) ; si \(P_3\) est sur la section, il faut que \(x_c-d<0\). Seule \(P_2\) est dans la portée lorsque \(x_c-d<0\) et \(x_c+d>L\). Pour une section intérieure, cela est possible dès que \(L<2d\) : si \(L\le d\), c’est le cas pour toute section intérieure ; si \(d<L<2d\), il faut \(L-d<x_c<d\).
Les cas possibles sont les suivants :
Cas 1.a – la position \(z_1\) de la charge \(P_1\) coïncide avec la position \(x_c\) de la section. Les charges \(P_2\) et \(P_3\) sont hors de la poutre.
Cas 1.b – la position \(z_2\) de la charge \(P_2\) coïncide avec la position \(x_c\) de la section. La charge \(P_1\) est à gauche de la poutre et la charge \(P_3\) à droite.
Cas 1.c – la position \(z_3\) de la charge \(P_3\) coïncide avec la position \(x_c\) de la section. Les charges \(P_1\) et \(P_2\) sont hors de la poutre.
2.1 Cas 1.a – La position \(z_1\) de la charge \(P_1\) coïncide avec la position \(x_c\) de la section
Dans ce cas :
\[\begin{equation} z_1(s) = s = x_c, \quad z_2(s) = s + d = x_c + d > L, \quad z_3(s) = s + 2d = x_c + 2d > L \end{equation}\]
2.2 Cas 1.b – La position \(z_2\) de la charge \(P_2\) coïncide avec la position \(x_c\) de la section
Les charges voisines sont hors de la portée lorsque \(P_2\) est sur la section et que \(x_c-d<0\), \(x_c+d>L\) :
\[\begin{equation} s=x_c-d,\qquad z_1(s)=x_c-d<0,\qquad z_2(s)=x_c,\qquad z_3(s)=x_c+d>L. \end{equation}\]
2.3 Cas 1.c – La position \(z_3\) de la charge \(P_3\) coïncide avec la position \(x_c\) de la section
Dans ce cas :
\[\begin{equation} s=x_c-2d,\quad z_1(s)=s=x_c-2d<0,\quad z_2(s)=s+d=x_c-d<0,\quad z_3(s)=s+2d=x_c \end{equation}\]
Dans les trois cas 1.a, 1.b et 1.c, soit \(P_j\) la seule charge dans la portée, située sur la section, de sorte que \(z_j=x_c\) pour \(j\in\{1,2,3\}\). Pour \(i\in\{1,2,3\}\), les ordonnées sont :
\[\begin{equation} M_I(z_i)= \begin{cases} \dfrac{x_c(L-x_c)}{L}, & i=j,\\[6pt] 0, & i\ne j. \end{cases} \end{equation}\]
Le moment fléchissant dans la section est donc identique dans les trois cas, puisque les charges ont la même intensité :
\[\begin{equation} M^{(1)}_{S_x}=P_m M_I(z_j)=\dfrac{P_m x_c(L-x_c)}{L},\qquad j\in\{1,2,3\}. \end{equation}\]
3 Scénario 2 – Deux charges seulement se trouvent sur la poutre
Dans ce scénario, seules deux charges consécutives se trouvent sur la poutre : comme \(z_1<z_2<z_3\), \(P_1\) et \(P_3\) ne peuvent pas être dans la portée sans \(P_2\). Le cas 2.a nécessite \(x_c+d\le L<x_c+2d\) ; le cas 2.b, \(0\le x_c-d\) et \(x_c+d>L\) ; le cas 2.c, \(x_c-2d<0\le x_c-d\) ; et le cas 2.d, \(x_c-d<0\) et \(x_c+d\le L\).
Les cas possibles sont les suivants :
Cas 2.a – la position \(z_1\) de la charge \(P_1\) coïncide avec la position \(x_c\) de la section fixe et la charge \(P_2\) se trouve également sur la poutre, près de l’appui droit. La charge \(P_3\) est hors de la poutre ;
Cas 2.b – la charge \(P_2\) est sur la section et \(P_1\) se trouve également sur la poutre ; \(P_3\) est hors de la poutre, à droite ;
Cas 2.c – la position \(z_3\) de la charge \(P_3\) coïncide avec la position \(x_c\) de la section fixe et la charge \(P_2\) se trouve également sur la poutre, près de l’appui gauche. La charge \(P_1\) est hors de la poutre ;
Cas 2.d – la charge \(P_2\) est sur la section et \(P_3\) se trouve également sur la poutre ; \(P_1\) est hors de la poutre, à gauche.
3.1 Cas 2.a – La position \(z_1\) de la charge \(P_1\) coïncide avec la position \(x_c\) de la section
Dans ce cas :
\[\begin{equation} z_1(s) = s = x_c, \quad z_2(s) = s + d = x_c + d, \quad z_3(s) = s + 2d = x_c + 2d > L \end{equation}\]
Comme la charge \(P_3\) est hors de la poutre, l’ordonnée correspondante de la ligne d’influence est nulle (soit \(M_I^{(2.a)}(z_3) = 0\)), de même que sa contribution au moment fléchissant dans la section \(x_c\). Les ordonnées de la ligne d’influence aux positions des charges sont donc :
\[\begin{equation} \begin{aligned} M_I^{(2.a)}(z_1) &= M_I^{(1.a)}(z_1) = \dfrac{z_1(L-x_c)}{L} = \dfrac{x_c(L-x_c)}{L}, \\ M_I^{(2.a)}(z_2) &= \dfrac{x_c(L-z_2)}{L} = \dfrac{x_c[L-(x_c+d)]}{L},\\ M_I^{(2.a)}(z_3) &= 0 \end{aligned} \end{equation}\]
On obtient donc :
\[\begin{equation} \begin{aligned} M^{(2.a)}_{S_x} &= P_m [ M_I^{(2.a)}(z_1) + M_I^{(2.a)}(z_2) + M_I^{(2.a)}(z_3) ]\\ &= \dfrac{P_m x_c}{L} \{ [L-(x_c)] + [L-(x_c+d)] + 0 \}\\ &= \dfrac{P_m x_c}{L}(2L-2x_c-d) \end{aligned} \end{equation}\]
3.2 Cas 2.b – La charge \(P_2\) coïncide avec la section, avec \(P_1\) dans la portée
Ici, \(z_1=x_c-d\), \(z_2=x_c\) et \(z_3=x_c+d>L\). Les deux charges présentes occupent les mêmes positions par rapport à la section que celles du cas 2.c ; comme leurs intensités sont égales, le moment vaut \(M^{(2.b)}_{S_x}=M^{(2.c)}_{S_x}=P_m(L-x_c)(2x_c-d)/L\), sans qu’il soit nécessaire de répéter la démonstration.
3.3 Cas 2.c – La position \(z_3\) de la charge \(P_3\) coïncide avec la position \(x_c\) de la section
Dans ce cas :
\[\begin{equation} s=x_c-2d,\quad z_1(s)=s=x_c-2d<0,\quad z_2(s)=s+d=x_c-d,\quad z_3(s)=s+2d=x_c \end{equation}\]
Comme la charge \(P_1\) est hors de la poutre, l’ordonnée correspondante de la ligne d’influence est nulle (soit \(M_I^{(2.c)}(z_1) = 0\)), de même que sa contribution au moment fléchissant dans la section \(x_c\).
Les ordonnées de la ligne d’influence aux positions des charges sont donc :
\[\begin{equation} \begin{aligned} M_I^{(2.c)}(z_1) &= 0, \\ M_I^{(2.c)}(z_2) &= \dfrac{z_2(L-x_c)}{L} = \dfrac{(x_c-d)(L-x_c)}{L},\\ M_I^{(2.c)}(z_3) &= M_I^{(1.c)}(z_3) = \dfrac{x_c(L-z_3)}{L} = \dfrac{x_c(L-x_c)}{L} \end{aligned} \end{equation}\]
On obtient donc :
\[\begin{equation} \begin{aligned} M^{(2.c)}_{S_x} &= P_m [ M_I^{(2.c)}(z_1) + M_I^{(2.c)}(z_2) + M_I^{(2.c)}(z_3) ]\\ &= \dfrac{P_m}{L} \{ 0 + (x_c-d)(L-x_c) + x_c(L-x_c) \}\\ &= \dfrac{P_m(L-x_c)}{L}(2x_c-d) \end{aligned} \end{equation}\]
3.4 Cas 2.d – La charge \(P_2\) coïncide avec la section, avec \(P_3\) dans la portée
Ici, \(z_1=x_c-d<0\), \(z_2=x_c\) et \(z_3=x_c+d\). Les deux charges présentes occupent les mêmes positions par rapport à la section que celles du cas 2.a ; par conséquent, \(M^{(2.d)}_{S_x}=M^{(2.a)}_{S_x}=P_m x_c(2L-2x_c-d)/L\).
4 Scénario 3 – Les trois charges se trouvent sur la poutre
Dans le scénario 3, les trois charges se trouvent sur la poutre, soit \(0 \le z_i(s) \le L\) pour \(i \in \{1,2,3\}\). Trois cas distincts doivent être considérés selon la position des charges par rapport à la section fixe \(S_x\) :
Cas 3.a – la position \(z_1\) de la charge \(P_1\) coïncide avec la position \(x_c\) de la section fixe et les autres charges sont à droite de celle-ci ;
Cas 3.b – la position \(z_2\) de la charge \(P_2\) coïncide avec la position \(x_c\) de la section fixe et les autres charges se trouvent de part et d’autre de celle-ci ;
Cas 3.c – la position \(z_3\) de la charge \(P_3\) coïncide avec la position \(x_c\) de la section fixe et les autres charges sont à gauche de celle-ci.
Pris séparément, le cas 3.a nécessite \(x_c+2d\le L\) ; le cas 3.b nécessite \(d\le x_c\le L-d\) ; et le cas 3.c nécessite \(x_c\ge 2d\). Pour que les trois cas soient possibles dans une même section, il faut \(2d\le x_c\le L-2d\), ce qui implique \(L\ge4d\). Cette dernière condition n’est pas nécessaire lorsqu’un seul des cas se présente.
4.1 Cas 3.a – La position \(z_1\) de la charge \(P_1\) coïncide avec la position \(x_c\) de la section
Dans ce cas :
\[\begin{equation} z_1(s) = s = x_c, \quad z_2(s) = s + d = x_c + d, \quad z_3(s) = s + 2d = x_c + 2d \end{equation}\]
Les ordonnées de la ligne d’influence aux positions des charges sont :
\[\begin{equation} \begin{aligned} M_I^{(3.a)}(z_1) &= M_I^{(2.a)}(z_1) = M_I^{(1.a)}(z_1) = \dfrac{x_c(L-z_1)}{L} = \dfrac{x_c(L-x_c)}{L}, \\ M_I^{(3.a)}(z_2) &= M_I^{(2.a)}(z_2) = \dfrac{x_c(L-z_2)}{L} = \dfrac{x_c[L-(x_c+d)]}{L},\\ M_I^{(3.a)}(z_3) &= \dfrac{x_c(L-z_3)}{L} = \dfrac{x_c[L-(x_c+2d)]}{L} \end{aligned} \end{equation}\]
On obtient donc :
\[\begin{equation} \begin{aligned} M^{(3.a)}_{S_x} &= P_m [ M_I^{(3.a)}(z_1) + M_I^{(3.a)}(z_2) + M_I^{(3.a)}(z_3)]\\ &= \dfrac{P_m x_c}{L} \{ (L-x_c) + [L-(x_c+d)] + [L-(x_c+2d)] \}\\ &= \dfrac{3P_m x_c}{L}(L-x_c-d) \end{aligned} \end{equation}\]
4.2 Cas 3.b – La position \(z_2\) de la charge \(P_2\) coïncide avec la position \(x_c\) de la section
Dans ce cas :
\[\begin{equation} s=x_c-d,\quad z_1(s)=s=x_c-d,\quad z_2(s)=s+d=x_c,\quad z_3(s)=s+2d=x_c+d \end{equation}\]
Les ordonnées de la ligne d’influence aux positions des charges sont :
\[\begin{equation} \begin{aligned} M_I^{(3.b)}(z_1) &= \dfrac{z_1(L-x_c)}{L} = \dfrac{(x_c-d)(L-x_c)}{L}, \\ M_I^{(3.b)}(z_2) &= \dfrac{x_c(L-z_2)}{L} = \dfrac{x_c(L-x_c)}{L},\\ M_I^{(3.b)}(z_3) &= \dfrac{x_c(L-z_3)}{L} = \dfrac{x_c[L-(x_c+d)]}{L} \end{aligned} \end{equation}\]
On obtient donc :
\[\begin{equation} \begin{aligned} M^{(3.b)}_{S_x} &= P_m [ M_I^{(3.b)}(z_1) + M_I^{(3.b)}(z_2) + M_I^{(3.b)}(z_3)]\\ &= \dfrac{P_m}{L} [ (x_c-d)(L-x_c) + x_c(L-x_c) + x_c[L-(x_c+d)] ]\\ &= \dfrac{P_m}{L} [ (x_c-d)(L-x_c) + x_c(L-x_c) + x_c(L-x_c) - x_c d] \\ &= \dfrac{P_m}{L} [ (3x_c-d)(L-x_c) - x_c d]\\ &= \dfrac{P_m}{L} [3x_c(L-x_c)-dL] \end{aligned} \end{equation}\]
4.3 Cas 3.c – La position \(z_3\) de la charge \(P_3\) coïncide avec la position \(x_c\) de la section
Dans ce cas :
\[\begin{equation} s=x_c-2d,\quad z_1(s)=s=x_c-2d,\quad z_2(s)=s+d=x_c-d,\quad z_3(s)=s+2d=x_c \end{equation}\]
Les ordonnées de la ligne d’influence aux positions des charges sont :
\[\begin{equation} \begin{aligned} M_I^{(3.c)}(z_1) &= \dfrac{z_1(L-x_c)}{L} = \dfrac{(x_c-2d)(L-x_c)}{L}, \\ M_I^{(3.c)}(z_2) &= M_I^{(2.c)}(z_2) = \dfrac{z_2(L-x_c)}{L} = \dfrac{(x_c-d)(L-x_c)}{L},\\ M_I^{(3.c)}(z_3) &= M_I^{(2.c)}(z_3) = M_I^{(1.c)}(z_3) = \dfrac{x_c(L-z_3)}{L} = \dfrac{x_c(L-x_c)}{L} \end{aligned} \end{equation}\]
On obtient donc :
\[\begin{equation} \begin{aligned} M^{(3.c)}_{S_x} &= P_m [ M_I^{(3.c)}(z_1) + M_I^{(3.c)}(z_2) + M_I^{(3.c)}(z_3) ]\\ &= \dfrac{P_m(L-x_c)}{L} [(x_c-2d)+(x_c-d)+x_c]\\ &= \dfrac{3P_m(L-x_c)}{L}(x_c-d) \end{aligned} \end{equation}\]
5 Détermination du moment fléchissant maximal dans la section fixe
Sur l’ensemble du passage du véhicule, la position de référence varie de \(-2d\) à \(L\). Les trois positions candidates sont \(s=x_c\), \(s=x_c-d\) et \(s=x_c-2d\). En utilisant la ligne d’influence prolongée par zéro hors de la portée, on définit :
\[\begin{equation} \begin{aligned} M_a &= P_m[M_I(x_c)+M_I(x_c+d)+M_I(x_c+2d)],\\ M_b &= P_m[M_I(x_c-d)+M_I(x_c)+M_I(x_c+d)],\\ M_c &= P_m[M_I(x_c-2d)+M_I(x_c-d)+M_I(x_c)]. \end{aligned} \end{equation}\]
Le résultat est :
\[\begin{equation} \boxed{M_{\max}(x_c)=\max\{M_a,M_b,M_c\}.} \end{equation}\]
Ces expressions couvrent aussi les cas où \(P_2\) est sur la section et où une seule des charges voisines, ou aucune, se trouve sur la poutre. Il n’est donc pas nécessaire d’imposer \(L\ge4d\) ni d’écarter les phases d’entrée et de sortie du véhicule. Aux frontières entre les cas, une charge située exactement sur un appui appartient encore à \([0,L]\), mais son ordonnée est nulle. Pour des charges ou des espacements différents, on applique la même somme pondérée aux positions candidates \(s=x_c\), \(s=x_c-d_{1,2}\) et \(s=x_c-d_{1,2}-d_{2,3}\).
Par exemple, pour \(L=20\,\mathrm{m}\), \(x_c=8\,\mathrm{m}\), \(d=4\,\mathrm{m}\) et \(P_m=100\,\mathrm{kN}\), on obtient \(M_a=960\,\mathrm{kN\,m}\), \(M_b=1040\,\mathrm{kN\,m}\) et \(M_c=720\,\mathrm{kN\,m}\). Ainsi, \(M_{\max}(8\,\mathrm{m})=1040\,\mathrm{kN\,m}\), avec \(P_2\) sur la section et \(s=4\,\mathrm{m}\).
À la section d’un appui, \(x_c=0\) ou \(x_c=L\), toutes les ordonnées sont nulles et le moment maximal est nul. La section reste fixe tout au long de l’analyse : on ne cherche pas ici le maximum absolu parmi toutes les sections de la poutre.