Cette note explique comment calculer les valeurs maximale et minimale de l’effort tranchant dans une section fixe d’une poutre simplement appuyée soumise à trois charges concentrées mobiles représentant les essieux d’un véhicule. La ligne d’influence de l’effort tranchant présentant une branche négative et une branche positive, il faut rechercher à la fois la plus grande et la plus petite valeur pendant le passage complet du véhicule.
On calcule d’abord la réponse algébrique au passage du véhicule complet, en conservant toutes les charges. Une dernière section présente séparément un critère d’enveloppe sélectionnant les contributions de même signe, sans compensation par les contributions favorables, lorsque cette sélection est admise par le modèle de chargement de la norme applicable.
1 Effort tranchant pour une position quelconque du véhicule
Considérons une poutre simplement appuyée de portée \(L\), soumise à trois charges concentrées mobiles verticales dirigées vers le bas, \(P_1\), \(P_2\) et \(P_3\), qui se déplacent ensemble en conservant les espacements positifs \(d_{1,2}\) et \(d_{2,3}\). Soit \(s\) la position de référence du véhicule. La première charge se trouve en \(s\), de sorte que :
\[\begin{equation} z_1(s)=s,\qquad z_2(s)=s+d_{1,2},\qquad z_3(s)=s+d_{1,2}+d_{2,3}. \end{equation}\]
On définit aussi \(d_{1,3}=d_{1,2}+d_{2,3}\), d’où \(z_3(s)=s+d_{1,3}\).
En prenant l’effort tranchant égal à la réaction gauche moins les charges à gauche de la section, sa ligne d’influence dans une section fixe \(S_x\) située en \(x_c\) est :
\[\begin{equation} V_I(z)= \begin{cases} -\dfrac{z}{L}, & 0\le z<x_c,\\[5pt] \dfrac{L-z}{L}, & x_c<z\le L,\\[5pt] 0, & z\notin[0,L]. \end{cases} \label{eq:shear-influence-line} \end{equation}\]
Il existe une discontinuité en \(z=x_c\). Il faut donc considérer les deux limites latérales :
\[\begin{equation} V_I(x_c^-)= -\dfrac{x_c}{L}, \qquad V_I(x_c^+)=\dfrac{L-x_c}{L}. \label{eq:shear-influence-jump} \end{equation}\]
L’effort tranchant pour une position quelconque du véhicule est la somme des produits des intensités des charges par les ordonnées correspondantes de la ligne d’influence :
\[\begin{equation} V(s)=P_1V_I\bigl(z_1(s)\bigr)+P_2V_I\bigl(z_2(s)\bigr) +P_3V_I\bigl(z_3(s)\bigr). \label{eq:general-shear} \end{equation}\]
La figure 2 illustre cette somme pour \(L=20\,\mathrm{m}\), \(x_c=8\,\mathrm{m}\), \(d_{1,2}=5\,\mathrm{m}\), \(d_{2,3}=4\,\mathrm{m}\), \(P_1=60\,\mathrm{kN}\) et \(P_2=P_3=100\,\mathrm{kN}\), avec les mêmes données que l’exemple numérique présenté plus loin. Les courbes en tirets, en traits mixtes et en pointillés représentent \(P_jV_I(z_j(s))\), et la courbe noire continue représente \(V(s)\). À une même abscisse \(s\), on additionne algébriquement les trois ordonnées en conservant les contributions positives et négatives. Chaque charge produit un saut d’amplitude \(P_j\) lorsqu’elle franchit la section, aux positions \(s=8\), \(3\) et \(-1\,\mathrm{m}\), respectivement. Les cercles ouverts indiquent les deux limites latérales, sans relier les sauts par des segments inclinés. En \(s=3\,\mathrm{m}\), par exemple, \(V\) passe de \(-9\) à \(91\,\mathrm{kN}\) ; en \(s=-1\,\mathrm{m}\), il passe de \(-60\) à \(40\,\mathrm{kN}\). Les valeurs positives sont tracées vers le haut et les négatives vers le bas. Il s’agit de la réponse du véhicule complet, et non de l’enveloppe sans compensation des contributions favorables présentée à la fin.
Les charges situées hors de la portée ne contribuent pas à l’effort tranchant, car leurs ordonnées d’influence sont nulles.
2 Pourquoi rechercher le maximum et le minimum
Contrairement à la ligne d’influence du moment fléchissant, continue à l’intérieur de la portée, celle de l’effort tranchant présente un saut à la section fixe. Elle est aussi négative à gauche de la section et positive à droite. Des charges différentes peuvent donc produire des contributions de signes opposés dans l’équation (4).
Le maximum est le plus grand effort tranchant obtenu pendant le mouvement :
\[\begin{equation} V_{\max}(x_c)=\max_s V(s), \end{equation}\]
Le minimum est le plus petit :
\[\begin{equation} V_{\min}(x_c)=\min_s V(s). \end{equation}\]
Il ne faut pas rechercher uniquement la plus grande valeur absolue sans avoir d’abord identifié son signe. L’effort tranchant de calcul peut être gouverné par \(V_{\max}\) ou par \(V_{\min}\), selon la combinaison de charges et la convention adoptée.
3 Positions critiques des charges
En dehors de \(x_c\), la ligne d’influence est affine par morceaux. Tant qu’aucune charge ne franchit la section, \(V(s)\) est donc également affine par morceaux et ses extrema se trouvent aux sommets de la ligne polygonale. Pour le passage d’un véhicule, les sommets pertinents correspondent à une charge coïncidant avec la section.
En raison du saut en \(x_c\), chaque alignement doit être évalué des deux côtés :
immédiatement avant que la charge atteigne la section, noté \(x_c^-\) ;
immédiatement après que la charge atteigne la section, noté \(x_c^+\).
Pour trois charges, il existe six candidats : chaque charge sur la section, évaluée par la gauche et par la droite. La position exacte \(z_i=x_c\) n’a pas à être introduite dans la somme, puisque l’ordonnée d’influence y est discontinue ; les limites latérales fournissent les valeurs physiques pertinentes.
Les trois figures suivantes correspondent aux cas a, b et c de la note sur le moment fléchissant, avec toutes les charges dans la portée. L’alignement est géométrique : les ordonnées \(V_I(x_c^-)\) et \(V_I(x_c^+)\) représentent deux évaluations distinctes, et non deux contributions simultanées d’une même charge.
3.1 Charge \(P_1\) franchissant la section
Lorsque \(P_1\) se trouve immédiatement à gauche de la section, les positions sont :
\[\begin{equation} z_1=x_c^-,\qquad z_2=x_c+d_{1,2},\qquad z_3=x_c+d_{1,3}. \end{equation}\]
Le candidat correspondant est :
\[\begin{equation} V_{1^-}=P_1V_I(x_c^-) +P_2V_I(x_c+d_{1,2}) +P_3V_I(x_c+d_{1,3}). \end{equation}\]
Lorsque \(P_1\) se trouve immédiatement à droite de la section :
\[\begin{equation} z_1=x_c^+,\qquad z_2=x_c+d_{1,2},\qquad z_3=x_c+d_{1,3}, \end{equation}\]
\[\begin{equation} V_{1^+}=P_1V_I(x_c^+) +P_2V_I(x_c+d_{1,2}) +P_3V_I(x_c+d_{1,3}). \end{equation}\]
3.2 Charge \(P_2\) franchissant la section
Pour \(P_2\) immédiatement à gauche ou à droite de la section, les positions sont :
\[\begin{equation} z_1=x_c-d_{1,2},\qquad z_2=x_c^\mp,\qquad z_3=x_c+d_{2,3}. \end{equation}\]
Les deux candidats sont donc :
\[\begin{equation} \begin{aligned} V_{2^-}&=P_1V_I(x_c-d_{1,2}) +P_2V_I(x_c^-)+P_3V_I(x_c+d_{2,3}),\\ V_{2^+}&=P_1V_I(x_c-d_{1,2}) +P_2V_I(x_c^+)+P_3V_I(x_c+d_{2,3}). \end{aligned} \end{equation}\]
3.3 Charge \(P_3\) franchissant la section
Enfin, lorsque \(P_3\) franchit la section :
\[\begin{equation} z_1=x_c-d_{1,3},\qquad z_2=x_c-d_{2,3},\qquad z_3=x_c^\mp. \end{equation}\]
Les candidats sont :
\[\begin{equation} \begin{aligned} V_{3^-}&=P_1V_I(x_c-d_{1,3}) +P_2V_I(x_c-d_{2,3})+P_3V_I(x_c^-),\\ V_{3^+}&=P_1V_I(x_c-d_{1,3}) +P_2V_I(x_c-d_{2,3})+P_3V_I(x_c^+). \end{aligned} \end{equation}\]
4 Positions critiques avec une ou plusieurs charges hors de la portée
Les six alignements candidats restent valables lorsqu’une ou plusieurs charges sont hors de la poutre. Leurs ordonnées d’influence sont nulles : \(V_I(z_j)=0\) pour toute charge telle que \(z_j<0\) ou \(z_j>L\). Aucune équation particulière supplémentaire n’est nécessaire : il suffit de conserver les positions des trois charges et d’évaluer la fonction définie dans l’équation (2).
La figure 6 illustre une configuration avec seulement \(P_3\) dans la portée :
Dans la figure 7, \(P_1\) est hors de la portée à gauche, tandis que \(P_2\) et \(P_3\) restent sur la poutre :
Enfin, la figure 8 montre une configuration avec seulement \(P_1\) dans la portée :
5 Détermination générale du maximum et du minimum
Les six évaluations précédentes restent valables lorsqu’une ou plusieurs charges sont hors de la portée : il suffit de prendre \(V_I(z)=0\) pour ces charges. La procédure générale consiste donc à calculer :
\[\begin{equation} \mathcal{V}= \left\{V_{1^-},V_{1^+},V_{2^-},V_{2^+},V_{3^-},V_{3^+}\right\}. \end{equation}\]
Les efforts tranchants le plus grand et le plus petit dans la section fixe sont :
\[\begin{equation} \boxed{V_{\max}(x_c)=\max\mathcal{V}}, \qquad \boxed{V_{\min}(x_c)=\min\mathcal{V}}. \label{eq:max-min-shear} \end{equation}\]
La figure 9 conserve la portée, les charges et les espacements de la figure de superposition, mais fait varier la position de la section \(x_c\). Pour chaque charge alignée sur la section, les deux candidats \(V_{j^-}(x_c)\) et \(V_{j^+}(x_c)\) sont représentés : en tirets pour \(j=1\), en traits mixtes pour \(j=2\) et en pointillés pour \(j=3\). Les deux courbes noires continues épaisses représentent \(V_{\max}(x_c)\) et \(V_{\min}(x_c)\), obtenus en choisissant, pour chaque abscisse, la plus grande et la plus petite des six ordonnées, sans les additionner. Chaque abscisse correspond à une analyse indépendante du passage complet du véhicule dans une section fixe. Contrairement aux candidats de moment fléchissant, les candidats d’effort tranchant sont affines par morceaux en \(x_c\) : les points d’entrée et de sortie des charges et les intersections entre candidats suffisent, sans discrétisation dense. En \(x_c=8\,\mathrm{m}\), les enveloppes donnent \(91\,\mathrm{kN}\) et \(-60\,\mathrm{kN}\). Aux extrémités du graphique, les valeurs représentent les limites de sections intérieures \(x_c\to0^+\) et \(x_c\to L^-\), et non une définition unique de l’effort tranchant exactement sur l’appui.
La plus grande valeur absolue peut être indiquée séparément si nécessaire :
\[\begin{equation} |V|_{\max}(x_c)= \max\left\{\,|V_{\max}(x_c)|,\;|V_{\min}(x_c)|\,\right\}. \end{equation}\]
6 Exemple numérique
Soit \(L=20\,\mathrm{m}\), \(x_c=8\,\mathrm{m}\), \(d_{1,2}=5\,\mathrm{m}\), \(d_{2,3}=4\,\mathrm{m}\), \(P_1=60\,\mathrm{kN}\) et \(P_2=P_3=100\,\mathrm{kN}\). On obtient :
\[\begin{equation} V_I(x_c^-)=-\frac{8}{20}=-0.4, \qquad V_I(x_c^+)=\frac{12}{20}=0.6. \end{equation}\]
En substituant les positions des essieux dans l’équation (2), on obtient les six candidats :
\[\begin{equation} \begin{array}{c|rrrrrr} & V_{1^-} & V_{1^+} & V_{2^-} & V_{2^+} & V_{3^-} & V_{3^+}\\ \hline V\;(\mathrm{kN})& 26&86&-9&91&-60&40 \end{array} \end{equation}\]
Ainsi :
\[\begin{equation} \boxed{V_{\max}=91\,\mathrm{kN}}, \qquad \boxed{V_{\min}=-60\,\mathrm{kN}}. \end{equation}\]
La plus grande valeur absolue est \(|V|_{\max}=91\,\mathrm{kN}\), correspondant au maximum algébrique. Cet exemple montre pourquoi il faut calculer les deux extrema lorsque la ligne d’influence présente des branches de signes opposés : le cas déterminant peut changer selon les intensités et les espacements des charges.
Aux sections des appuis, l’analyse doit respecter la convention d’effort tranchant et le côté de la section considéré. Pour une section intérieure \(0<x_c<L\), la procédure ci-dessus tient directement compte du saut et des charges situées hors de la portée.
7 Enveloppe à contributions de même signe
7.1 Distinguer le passage du véhicule du critère d’enveloppe
Jusqu’ici, \(V(s)\) est la réponse du véhicule complet. Une charge sur la branche négative réduit la réponse produite par les charges sur la branche positive, et inversement. Cette compensation est correcte pour la réponse physique de ce véhicule dans cette position, mais ne correspond pas au critère d’enveloppe sans contributions favorables adopté dans cette section.
Pour les enveloppes des ponts, lorsque le modèle de la norme applicable prescrit la sélection des contributions défavorables, seules les contributions de même signe sont retenues : positives pour rechercher le maximum et négatives pour rechercher le minimum. Deux charges d’un côté de la section peuvent ainsi produire un effet d’enveloppe plus critique que leur somme avec une troisième charge sur la branche de signe opposé.
Cette sélection doit respecter la norme applicable, son édition et les actions ou groupes de charges qu’elle définit. Elle ne constitue pas une autorisation générale de supprimer des essieux d’un véhicule réel ni de sélectionner isolément des contributions de n’importe quelle action permanente. Les expressions suivantes formalisent le critère demandé pour les trois charges mobiles, en supposant que leurs contributions favorables puissent être négligées. Les coefficients et combinaisons normatifs doivent être appliqués selon le cas de calcul.
7.2 Séparer les contributions positives et négatives
Pour \(P_i>0\), on définit deux fonctions à partir des ordonnées signées de la ligne d’influence :
\[\begin{equation} V_I^{(+)}(z)=\max\{V_I(z),0\}, \qquad V_I^{(-)}(z)=\min\{V_I(z),0\}. \end{equation}\]
L’exposant entre parenthèses indique la sélection par signe, et non le côté du saut. Par exemple :
\[\begin{equation} \begin{aligned} V_I^{(+)}(x_c^-)&=0, & V_I^{(+)}(x_c^+)&=\frac{L-x_c}{L},\\ V_I^{(-)}(x_c^-)&=-\frac{x_c}{L}, & V_I^{(-)}(x_c^+)&=0. \end{aligned} \end{equation}\]
Pour chaque position du véhicule, on calcule séparément :
\[\begin{equation} \begin{aligned} V^{(+)}(s)&=\sum_{i=1}^{3}P_iV_I^{(+)}\bigl(z_i(s)\bigr),\\ V^{(-)}(s)&=\sum_{i=1}^{3}P_iV_I^{(-)}\bigl(z_i(s)\bigr). \end{aligned} \label{eq:shear-sign-selection} \end{equation}\]
Dans la première somme, une charge sur la branche négative ne contribue pas. Dans la seconde, une charge sur la branche positive ne contribue pas. Les charges hors de la portée ont une contribution nulle dans les deux sommes. Les espacements d’origine sont conservés : la sélection élimine les contributions favorables, sans rapprocher ni repositionner indépendamment les essieux restants.
La réponse du véhicule complet vérifie \(V(s)=V^{(+)}(s)+V^{(-)}(s)\). Toutefois, pour cette enveloppe, ces deux contributions ne doivent pas être additionnées avant la recherche des extrema.
7.3 Positions critiques et extrema de l’enveloppe
Avec \(a_1=0\), \(a_2=d_{1,2}\) et \(a_3=d_{1,3}\), les alignements précédents sont \(s_k=x_c-a_k\), pour \(k=1,2,3\). À chacun d’eux, on évalue les deux limites latérales de la somme entière :
\[\begin{equation} C_{k,\pm}^{(+)}=\lim_{s\to s_k^\pm}V^{(+)}(s), \qquad C_{k,\pm}^{(-)}=\lim_{s\to s_k^\pm}V^{(-)}(s). \end{equation}\]
Les extrema de l’enveloppe sans compensation sont :
\[\begin{equation} \boxed{V_{\max,\mathrm{env}}(x_c)= \max\left(\{0\}\cup\{C_{k,\pm}^{(+)}:k=1,2,3\}\right)}, \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boxed{V_{\min,\mathrm{env}}(x_c)= \min\left(\{0\}\cup\{C_{k,\pm}^{(-)}:k=1,2,3\}\right)}. \label{eq:shear-envelope-extremes} \end{equation}\]
Zéro inclut la configuration sans chargement et garantit un maximum non négatif et un minimum non positif. La recherche des candidats reste fondée sur le franchissement de la section par chacune des trois charges, en utilisant les deux limites latérales et des ordonnées nulles pour les charges hors de la portée.
Dans les figures des cas a, b et c, les deux côtés du saut rendent cette sélection explicite. Par exemple, dans le cas b, avec \(P_2\) immédiatement à droite de la section, \(P_2\) et \(P_3\) peuvent contribuer au maximum, mais la contribution négative de \(P_1\) est négligée. Avec \(P_2\) immédiatement à gauche, \(P_1\) et \(P_2\) peuvent contribuer au minimum, sans la compensation positive de \(P_3\). La même règle vaut pour les figures avec des charges hors de la portée.
7.4 Comparaison dans l’exemple numérique
Avec les mêmes données et alignements que dans l’exemple précédent, on obtient :
\[\begin{equation} \begin{array}{c|rrrrrr} & 1^- & 1^+ & 2^- & 2^+ & 3^- & 3^+\\ \hline V^{(+)}\;(\mathrm{kN}) & 50 & 86 & 40 & 100 & 0 & 60\\ V^{(-)}\;(\mathrm{kN}) & -24 & 0 & -49 & -9 & -60 & -20\\ V\;(\mathrm{kN}) & 26 & 86 & -9 & 91 & -60 & 40 \end{array} \end{equation}\]
À l’alignement \(2^+\), les positions sont \(z_1=3\,\mathrm{m}\), \(z_2=8^+\,\mathrm{m}\) et \(z_3=12\,\mathrm{m}\). Les contributions valent \(-9\,\mathrm{kN}\), \(60\,\mathrm{kN}\) et \(40\,\mathrm{kN}\). La réponse du véhicule complet est \(91\,\mathrm{kN}\), mais le maximum de l’enveloppe sans compensation est \(60+40=100\,\mathrm{kN}\), car la contribution favorable \(-9\,\mathrm{kN}\) n’est pas retenue.
Donc :
\[\begin{equation} \boxed{V_{\max,\mathrm{env}}=100\,\mathrm{kN}}, \qquad \boxed{V_{\min,\mathrm{env}}=-60\,\mathrm{kN}}. \end{equation}\]
Dans cet exemple, le minimum ne change pas, car son alignement critique ne comporte déjà aucune contribution positive. En général :
\[\begin{equation} V_{\max,\mathrm{env}}\ge V_{\max}, \qquad V_{\min,\mathrm{env}}\le V_{\min}. \end{equation}\]
Ces résultats distinguent la réponse algébrique du véhicule complet de l’enveloppe obtenue par sélection des contributions de même signe, en empêchant les contributions favorables de réduire les extrema lorsque le critère de chargement adopté n’admet pas cette réduction.