Cette note explique comment déterminer le moment fléchissant maximal dans une section fixe d’une poutre simplement appuyée soumise à trois charges concentrées mobiles représentant les essieux d’un véhicule. Le calcul utilise les ordonnées de la ligne d’influence aux positions des charges. Il permet de considérer différentes intensités et différents espacements, ainsi que les cas particuliers où deux charges ou deux espacements sont égaux.
1 Moment fléchissant pour une position quelconque du véhicule
Considérons une poutre simplement appuyée de portée \(L\), soumise à trois charges concentrées mobiles verticales dirigées vers le bas, \(P_1\), \(P_2\) et \(P_3\), séparées par des espacements fixes positifs \(d_{1,2}\) et \(d_{2,3}\), comme l’illustre la figure 1. Les flèches sont schématiques et ne représentent pas les proportions entre les intensités des charges. Soit \(s\) la position de référence du véhicule, et supposons que la première charge se trouve à cette position, soit \(z_1=s\). Les autres positions des charges découlent des espacements fixes.
\[\begin{equation} z_1(s)=s,\qquad z_2(s)=s+d_{1,2},\qquad z_3(s)=s+d_{1,2}+d_{2,3} \end{equation}\]
La distance totale entre les première et troisième charges est définie par \(d_{1,3}=d_{1,2}+d_{2,3}\), de sorte que :
\[\begin{equation} z_3(s)=s+d_{1,3}. \end{equation}\]
La ligne d’influence du moment fléchissant dans une section fixe \(S_x\) située en \(x_c\), pour une charge verticale unitaire en position \(z\), est définie ci-dessous. Une charge hors de la portée, lorsque \(z<0\) ou \(z>L\), a une ordonnée d’influence nulle.
\[\begin{equation} M_I(z)= \begin{cases} \dfrac{z(L-x_c)}{L}, & 0\le z\le x_c,\\[5pt] \dfrac{x_c(L-z)}{L}, & x_c<z\le L,\\[5pt] 0, & z\notin[0,L]. \end{cases} \end{equation}\]
Comme indiqué précédemment, le moment fléchissant dans une section fixe est la somme des produits de chaque intensité de charge par l’ordonnée de la ligne d’influence à la position correspondante :
\[\begin{equation} M(s) = P_1 M_I\big(z_1(s)\big) + P_2 M_I\big(z_2(s)\big) + P_3 M_I\big(z_3(s)\big) \end{equation}\]
La figure 2 illustre la superposition pour \(L=40\,\mathrm{m}\), \(x_c=10\,\mathrm{m}\), \(d_{1,2}=8\,\mathrm{m}\), \(d_{2,3}=4\,\mathrm{m}\), \(P_1=P_2=100\,\mathrm{kN}\) et \(P_3=25\,\mathrm{kN}\). Les courbes en traits discontinus représentent les contributions individuelles \(P_j M_I(z_j(s))\), et la courbe noire continue représente leur somme \(M(s)\). Pour chaque abscisse \(s\), on additionne les trois ordonnées correspondant à la même position du véhicule, et non les maxima individuels des courbes. Chaque contribution est nulle tant que la charge correspondante se trouve hors de la portée et atteint son maximum lorsque cette charge passe sur la section fixe, aux positions \(s=10\), \(2\) et \(-2\,\mathrm{m}\), respectivement. Les moments positifs sont tracés vers le bas, sans changer le signe des valeurs indiquées. La somme est affine par morceaux et atteint \(1\,412{,}5\,\mathrm{kN\,m}\) en \(s=10\,\mathrm{m}\).
On peut ainsi calculer le moment fléchissant dans toute section fixe pour chaque position du véhicule pendant son passage sur la poutre.
2 Moment fléchissant maximal et positions critiques du véhicule
Déterminer le moment fléchissant maximal nécessite d’identifier les positions critiques des charges. Pour les structures isostatiques, les lignes d’influence sont des fonctions affines par morceaux, constituées de segments de droite formant une ligne polygonale. Leur somme est aussi affine par morceaux, comme l’illustre la figure 2. Un maximum est donc atteint dans une position où une charge concentrée coïncide avec un sommet de la ligne d’influence.
Pour le moment fléchissant d’une poutre simplement appuyée, la ligne d’influence possède deux branches affines dans la portée, s’annule aux appuis et présente un sommet à la section fixe \(x_c\). Les charges hors de la portée ne produisent aucun effort intérieur ; la ligne d’influence complète peut donc être représentée par quatre branches, deux dans la portée et deux branches nulles à l’extérieur. Pendant le passage complet du véhicule, au moins une position de maximum correspond ainsi à une charge exactement sur la section fixe, soit \(z_i(s)=x_c\) pour un \(i\in\{1,2,3\}\).
3 Cas où les trois charges se trouvent dans la portée
Lorsque les trois charges sont dans la portée, il suffit d’évaluer les trois positions candidates où l’une des charges coïncide avec la section fixe : \(z_1=x_c\), \(z_2=x_c\) ou \(z_3=x_c\). Ces alignements sont désignés par les cas a, b et c, respectivement.
3.1 Cas a — La charge \(P_1\) coïncide avec la section fixe
Dans ce cas, \(P_1\) se trouve exactement sur la section fixe (\(z_1=x_c\)). Les positions des autres charges sont déterminées par les espacements fixes :
\[\begin{equation} z_1 = x_c, \quad z_2 = x_c + d_{1,2}, \quad z_3 = x_c + d_{1,3} \end{equation}\]
Le moment fléchissant dans ce cas vaut :
\[\begin{equation} \begin{aligned} M_a(x_c) &= P_1 M_I(z_1) + P_2 M_I(z_2) + P_3 M_I(z_3)\\ &= P_1 M_I(x_c) + P_2 M_I(x_c + d_{1,2}) + P_3 M_I(x_c + d_{1,3}) \end{aligned} \end{equation}\]
3.2 Cas b — La charge \(P_2\) coïncide avec la section fixe
Ici, \(P_2\) se trouve exactement sur la section fixe (\(z_2=x_c\)). Les positions des autres charges sont :
\[\begin{equation} z_1 = x_c - d_{1,2}, \quad z_2 = x_c, \quad z_3 = x_c + d_{2,3} \end{equation}\]
Le moment fléchissant dans ce cas vaut :
\[\begin{equation} \begin{aligned} M_b(x_c) &= P_1 M_I(z_1) + P_2 M_I(z_2) + P_3 M_I(z_3)\\ &= P_1 M_I(x_c - d_{1,2}) + P_2 M_I(x_c) + P_3 M_I(x_c + d_{2,3}) \end{aligned} \end{equation}\]
3.3 Cas c — La charge \(P_3\) coïncide avec la section fixe
Ici, \(P_3\) se trouve exactement sur la section fixe (\(z_3=x_c\)). Les positions des autres charges sont :
\[\begin{equation} z_1 = x_c - d_{1,3}, \quad z_2 = x_c - d_{2,3}, \quad z_3 = x_c \end{equation}\]
Le moment fléchissant dans ce cas vaut :
\[\begin{equation} \begin{aligned} M_c(x_c) &= P_1 M_I(z_1) + P_2 M_I(z_2) + P_3 M_I(z_3)\\ &= P_1 M_I(x_c - d_{1,3}) + P_2 M_I(x_c - d_{2,3}) + P_3 M_I(x_c) \end{aligned} \end{equation}\]
4 Positions critiques avec une ou plusieurs charges hors de la portée
Les mêmes alignements candidats s’appliquent lorsqu’une ou plusieurs charges se trouvent hors de la poutre. À ces positions, \(M_I(z_j)=0\) et la charge correspondante ne contribue pas au moment dans la section. Les figures suivantes illustrent les configurations avec seulement \(P_3\) dans la portée, avec \(P_2\) et \(P_3\) dans la portée, puis avec seulement \(P_1\) dans la portée. Elles illustrent la méthode générale et ne nécessitent pas d’équations particulières.
5 Détermination générale du maximum
Le moment fléchissant maximal dans une section fixe s’obtient en évaluant les trois candidats où une charge se trouve sur la section :
\[\begin{equation} \begin{aligned} M_a(x_c)&=P_1M_I(x_c)+P_2M_I(x_c+d_{1,2})+P_3M_I(x_c+d_{1,3}),\\ M_b(x_c)&=P_1M_I(x_c-d_{1,2})+P_2M_I(x_c)+P_3M_I(x_c+d_{2,3}),\\ M_c(x_c)&=P_1M_I(x_c-d_{1,3})+P_2M_I(x_c-d_{2,3})+P_3M_I(x_c). \end{aligned} \end{equation}\]
Le maximum vaut :
\[\begin{equation} \boxed{M_{\max}(x_c)=\max\{M_a(x_c),M_b(x_c),M_c(x_c)\}.} \end{equation}\]
La figure 9 représente \(M_a(x_c)\) en tirets, \(M_b(x_c)\) en traits mixtes, \(M_c(x_c)\) en pointillés et \(M_{\max}(x_c)\) en trait noir continu épais, pour les mêmes valeurs de portée, de charges et d’espacements que dans l’exemple précédent. Pour chaque position \(x_c\), on retient la plus grande des trois ordonnées, et non leur somme. Les moments positifs étant tracés vers le bas, l’enveloppe des maxima est la courbe la plus éloignée de l’axe horizontal. Contrairement au graphique de superposition en fonction de \(s\), cette figure fait varier la position de la section : chaque abscisse correspond à une analyse indépendante du passage complet du véhicule dans une section fixe. Les fonctions candidates sont quadratiques par morceaux et changent d’expression lorsqu’une charge entre dans la portée ou en sort.
Les ordonnées de la ligne d’influence sont évaluées à chaque position candidate, y compris lorsqu’une ou deux charges se trouvent hors de la portée. La même somme pondérée couvre donc toutes les configurations illustrées, sans équations supplémentaires propres à chaque cas. Une mise en œuvre numérique générale doit seulement évaluer les trois sommes pondérées et retenir la plus grande valeur.
Par exemple, pour \(L=40\,\mathrm{m}\), \(x_c=10\,\mathrm{m}\), \(d_{1,2}=8\,\mathrm{m}\), \(d_{2,3}=4\,\mathrm{m}\), \(P_1=P_2=100\,\mathrm{kN}\) et \(P_3=25\,\mathrm{kN}\), les candidats valent \(M_a=1\,412{,}5\,\mathrm{kN\,m}\), \(M_b=1\,062{,}5\,\mathrm{kN\,m}\) et \(M_c=637{,}5\,\mathrm{kN\,m}\). Ainsi, \(M_{\max}(10\,\mathrm{m})=1\,412{,}5\,\mathrm{kN\,m}\), avec \(P_1\) sur la section et \(s=10\,\mathrm{m}\).
Dans une section d’appui, \(x_c=0\) ou \(x_c=L\), toutes les ordonnées d’influence sont nulles et le moment fléchissant maximal est nul. La section reste fixe pendant toute l’analyse ; cette note ne recherche pas le maximum absolu sur l’ensemble des sections de la poutre.