Viga biapoiada sujeita a uma carga uniformemente distribuída

1

Modelo estrutural

Considere o modelo estrutural de uma viga biapoiada de vão \(L\), apoiada nos pontos \(A\) e \(B\), e submetida a uma carga vertical uniformemente distribuída de intensidade \(q\) em todo o vão. A resultante da carga é \(qL\) e atua no meio do vão. Os resultados desejados são as reações de apoio \(R_A\) e \(R_B\), e os esforços internos (esforço cortante ou momento fletor) em uma determinada seção \(S_x\) da viga.

Viga biapoiada de vão \(L\) submetida à carga vertical uniformemente distribuída \(q\).

\[0\le x\le L,\qquad q\ge 0.\]

\(L\): Vão da viga
\(q\): Intensidade da carga por unidade de comprimento
\(R_A,R_B\): Reações de apoio (positivo para cima)
\(S_x\): Posição variável de uma seção \(S_x\)

2

Reações de apoio

Para a determinação das reações de apoio, pode-se substituir a carga distribuída por sua resultante \(qL\), aplicada no centro de gravidade do carregamento, que neste caso situa-se exatamente no meio do vão. Pode-se então impor o equilíbrio de forças verticais e o equilíbrio de momentos em torno de um ponto (escolhe-se neste caso o ponto \(A\). A partir da imposição destas condições de equilíbrio obtêm-se as reações de apoio \(R_A\) e \(R_B\):

\[ \sum F_y=0:\qquad R_A+R_B-qL=0, \qquad \sum M_A=0:\qquad R_B L-(qL)\frac{L}{2}=0. \]

\[ \boxed{R_A=R_B=\frac{qL}{2}}. \]

Observa-se que as reações são iguais devido à simetria do carregamento e dos apoios.

3

Esforços internos

Pode-se imaginar que a viga seja seccionada em uma seção transversal \(S_x\) com coordenada \(x\), criando-se dois corpos livres, e examinar as forças à esquerda ou à direita deste corte. A figura mostra separadamente os diagramas de corpo livre das partes esquerda e direita, incluindo a carga distribuída em cada parte e a respectiva reação de apoio. Para que cada corpo livre esteja em equilíbrio, é necessário considerar os esforços internos que devem atuar nas faces do corte, ou seja, o esforço cortante e o momento fletor.

Corpos livres à esquerda e à direita de \(S_x\); Os esforços cortantes nas duas faces são representadas por setas retas, enquanto os momentos fletores são representados por setas curvas. Nota-se que estas setas tem sentidos opostos nas duas faces do corte.

O esforço cortante positivo atua para baixo na face do corte do corpo livre esquerdo e para cima na face do corte do corpo livre direito; os momentos fletores que causam tração nas fibras inferiores são positivos quando atuam no sentido anti-horário na face do corte da parte esquerda e horário na parte direita. Assim, os dois corpos livres apresentam esforços internos na seção de corte de mesma intensidade e sentidos opostos.

4

Esforço cortante

No corpo livre esquerdo, a resultante da carga parcial é \(qx\), aplicada a \(x/2\) do apoio \(A\). O equilíbrio de forças verticais do corpo livre esquerdo fornece o esforço cortante no corte.

\[ V(x)=R_A-qx =\frac{qL}{2}-qx =\boxed{q\left(\frac{L}{2}-x\right)}. \]

\[ V(0)=\frac{qL}{2},\qquad V\left(\frac{L}{2}\right)=0,\qquad V(L)=-\frac{qL}{2}. \]

Nota-se que o esforço cortante corresponde a uma função contínua e linear em \(x\), ou seja, o esforço cortante varia linearmente ao longo da viga. Assim, observa-se que o diagrama de esforço cortante consiste em uma reta que vai de \(+qL/2\), em \(A\), a \(-qL/2\), em \(B\), possuindo o valor nulo exatamente no meio do vão.

Diagrama de esforço cortante: variação linear de \(+qL/2\) a \(-qL/2\), com zero no meio do vão.

5

Momento fletor

O equilíbrio de momentos das forças atuantes no corpo livre esquerdo (por exemplo) em relação ao corte fornece o momento fletor.

\[ M(x)=R_Ax-(qx)\frac{x}{2} =\frac{qLx}{2}-\frac{qx^2}{2} =\boxed{\frac{q\,x(L-x)}{2}}. \]

\[ M(0)=M(L)=0,\qquad M_{\max}=M\left(\frac{L}{2}\right)=\frac{qL^2}{8}. \]

Nota-se que o momento fletor corresponde a uma função contínua e quadrática em \(x\), ou seja, o momento fletor varia quadraticamente ao longo da viga. Assim, observa-se que o diagrama de momento fletor consiste em uma parábola simétrica, positiva entre os apoios e com valor máximo no meio do vão.

Diagrama de momento fletor: parábola simétrica com ordenada máxima \(qL^2/8\) no meio do vão.

6

Verificações e limitações

A soma das reações satisfaz \(R_A+R_B=qL\).
O esforço cortante varia em \(-qL\) entre o apoio esquerdo e o direito.
O momento fletor é nulo nos dois apoios simples e máximo onde o esforço cortante é nulo.

Estas equações são válidas apenas para uma viga biapoiada, com intensidade de carga constante e atuando em todo o vão.