Poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie

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Modèle structurel

Considérons le modèle structural d'une poutre simplement appuyée de portée \(L\), appuyée aux points \(A\) et \(B\), et soumise à une charge verticale uniformément répartie d'intensité \(q\) sur toute la portée. La résultante de la charge vaut \(qL\) et agit au milieu de la portée. Les résultats recherchés sont les réactions d'appui \(R_A\) et \(R_B\), ainsi que les actions internes (effort tranchant ou moment fléchissant) dans une section donnée \(S_x\) de la poutre.

Poutre simplement appuyée de portée \(L\) soumise à une charge verticale uniformément répartie \(q\).

\[0\le x\le L,\qquad q\ge 0.\]

\(L\): Portée de la poutre
\(q\): Intensité de charge par unité de longueur
\(R_A,R_B\): Réactions d'appui ascendantes
\(S_x\): Position variable d'une section \(S_x\)

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Réactions d'appui

Pour déterminer les réactions d'appui, on peut remplacer la charge répartie par sa résultante \(qL\), appliquée au centre de gravité du chargement, qui se trouve ici exactement au milieu de la portée. On peut alors imposer l'équilibre des forces verticales et l'équilibre des moments autour d'un point (le point \(A\) est choisi ici). L'application de ces conditions d'équilibre permet d'obtenir les réactions d'appui \(R_A\) et \(R_B\) :

\[ \sum F_y=0:\qquad R_A+R_B-qL=0, \qquad \sum M_A=0:\qquad R_B L-(qL)\frac{L}{2}=0. \]

\[ \boxed{R_A=R_B=\frac{qL}{2}}. \]

Les réactions sont égales en raison de la symétrie du chargement et des appuis.

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Efforts internes

On peut imaginer que la poutre est coupée dans une section transversale \(S_x\), de coordonnée \(x\), créant ainsi deux corps libres, puis examiner les forces à gauche ou à droite de cette coupe. La figure montre séparément les diagrammes de corps libre des parties gauche et droite, avec la charge répartie sur chaque partie et la réaction d'appui correspondante. Pour que chaque corps libre soit en équilibre, il faut considérer les actions internes agissant sur les faces de coupe, à savoir l'effort tranchant et le moment fléchissant.

Corps libres à gauche et à droite de \(S_x\) ; les efforts tranchants sur les deux faces sont représentés par des flèches droites, tandis que les moments fléchissants sont représentés par des flèches courbes. Ces flèches sont de sens opposés sur les deux faces de coupe.

L'effort tranchant positif agit vers le bas sur la face de coupe du corps libre gauche et vers le haut sur celle du corps libre droit ; les moments fléchissants qui mettent les fibres inférieures en traction sont positifs lorsqu'ils agissent dans le sens antihoraire sur la face de coupe de la partie gauche et dans le sens horaire sur celle de la partie droite. Ainsi, les deux corps libres présentent, à la section de coupe, des actions internes de même intensité et de sens opposés.

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Effort tranchant

Sur le corps libre gauche, la résultante de la charge partielle vaut \(qx\) et est appliquée à \(x/2\) de l'appui \(A\). L'équilibre des forces verticales du corps libre gauche donne l'effort tranchant à la coupe.

\[ V(x)=R_A-qx =\frac{qL}{2}-qx =\boxed{q\left(\frac{L}{2}-x\right)}. \]

\[ V(0)=\frac{qL}{2},\qquad V\left(\frac{L}{2}\right)=0,\qquad V(L)=-\frac{qL}{2}. \]

L'effort tranchant est une fonction continue et linéaire de \(x\) ; autrement dit, il varie linéairement le long de la poutre. Le diagramme d'effort tranchant est donc une droite allant de \(+qL/2\), en \(A\), à \(-qL/2\), en \(B\), et sa valeur est nulle exactement au milieu de la portée.

Diagramme d'effort tranchant : variation linéaire de \(+qL/2\) à \(-qL/2\), avec annulation au milieu de la portée.

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Moment fléchissant

L'équilibre des moments des forces du corps libre gauche par rapport à la coupe donne le moment fléchissant.

\[ M(x)=R_Ax-(qx)\frac{x}{2} =\frac{qLx}{2}-\frac{qx^2}{2} =\boxed{\frac{q\,x(L-x)}{2}}. \]

\[ M(0)=M(L)=0,\qquad M_{\max}=M\left(\frac{L}{2}\right)=\frac{qL^2}{8}. \]

Le moment fléchissant est une fonction continue et quadratique de \(x\) ; autrement dit, il varie quadratiquement le long de la poutre. Le diagramme de moment fléchissant est donc une parabole symétrique, positive entre les appuis et de valeur maximale au milieu de la portée.

Diagramme de moment fléchissant : parabole symétrique dont l'ordonnée maximale \(qL^2/8\) se situe au milieu de la portée.

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Vérifications et limites

La somme des réactions vérifie \(R_A+R_B=qL\).
L'effort tranchant varie de \(-qL\) entre l'appui gauche et l'appui droit.
Le moment fléchissant s'annule aux deux appuis simples et atteint son maximum là où l'effort tranchant est nul.

Ces équations ne sont valables que pour une poutre simplement appuyée, avec une intensité de charge constante agissant sur toute la portée.